a, b, c sono tre numeri reali tali che a+b+c=0 e a^2 + b^2 +c^2 = 1
quanto vale: a⁴+b⁴+c⁴ = ?
Elevando al quadrato la prima uguaglianza e sottraendo la seconda ho:
ab+bc+ac = -1/2
a²b²+b²c²+a²c²+2ab²c+2a²bc+2abc² = 1/4
4a²b²+4b²c²+4a²c²+8abc(a+b+c) = 1
E quindi:
2a²b²+2b²c²+2a²c² = 1/2
ma allora, elevando al quadrato la seconda uguaglianza:
a⁴+b⁴+c⁴ = 1 - 1/2 =1/2
un altro ragionamento, potrebbe:
1 = (a²+b²+c²)² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2a²c²
⇒
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1 - 2(a²b² + b²c² + a²c²).
0 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab + 2bc + 2ac = 1 + 2ab + 2bc + 2ac
⇒
ab+bc+ac = -1/2.
1/4 = (ab+bc+ac)² = a²b² + b²c² + a²c² + 2ab²c + 2a²bc + 2abc² = a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a+b+c) = a²b² + b²c² + a²c²
⇒
a²b² + b²c² + a²c² = 1/4.
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1 - 2(a²b² + b²c² + a²c²) = 1 - 2×(1/4) = 1/2.
About Post Author
