Algoritmi per la soluzione di sistemi lineari

Se parliamo di matrici di permutazione, parliamo di matrice Ortogonali.

se invece introduciamo un sistema lineare: A x = b

Cosa vuol dire: A x = b

è un sistema di m equazioni a n incognite. Dove A è la matrice, x è il vettore incognita e b è il vettore noto e cioè che noi abbiamo!

Quindi: A è una matrice

A x = b

A e b sono noti, quindi. Noi dobbiamo avere la matrice A e il vettore b. Altrimenti x non la ricaveremo mai.

Cosa vuol dire quando una matrice è ortogonale?

Una matrice è ortogonale se: Q per la Trasposta di Q = Trasposta di Q per Q = I

Dove I è matrice Identità;

quindi se al posto di A, gli mettiamo Q.

A x = b  --> Q x = b -->

Ricordiamo che se moltiplico a sinistra per Q trasposta, lo posso fare anche a destra.

Se Q per Q trasposta non ci da la matrice identità, vuol dire che Q non è ortogonale. Sia chiaro!

se A è una matrice generica. La fattorizzazione LU che è l'algoritmo che stiamo studiando, il quale ci permette di ottenere 2 matrici. 1 matrice triangolare inferiore e una matrice triangolare superiore.

La matrice L è triangolare inferiore. La matrice U è triangolare superiore. Sta per Lower e Upper.

Inoltre la fattorizzazione LU, può essere svolta in 3 modi:

A = L U
dove A è una generica matrice.

PA = LU
definita fattorizzazione LU con pivot parziale. Dove abbiamo la Matrice P (di Permutazione) che moltiplica una generica Matrice. Perchè si usa la matrice di permutazione? Perchè aiuta l'algoritmo ad essere Stabile.

PA = LU Algoritmo

e anche

PAQ = LU

P e Q sono matrici di permutazione. L'algoritmo in questo caso ha davvero stabilità. Il procedimento è più complesso. Infatti quando utilizziamo PAQ stiamo utilizzando la fattorizzazione LU con pivot totale.

dal sistema Lineare A x = b, Moltiplicando a sinistra e destra per la matrice P di permutazione e poi moltiplicando a sinistra per Q per Q trasposta (che poi è la matrice identità), ma che mi serve per raggiungere lo scopo di avere PAQ e sostituirlo con LU.
Avendo poi L U Q trasposta e x = P b (dove P è la matrice di permutazione).
Assegno a U Q trasposta e x = y

Quindi Avendo la matrice L (triangolare inferiore), e avendo b. Posso calcolarmi y.

Come si vede dalla foto, con i passaggi PAQ = LU siamo giunti con dei passaggi al sistema Lineare L y = P b

Per comprendere meglio cosa si intende per L x = b e U x = b