Come si possono calcolare i parametri a e b di questa funzione parametrica affinché corrispondano un asintoto verticale (x=2) e un asintoto orizzontale (y=3)
b = -4 per l'As. Verticale x=2.
L'unico As. Orizzontale possibile, visti i gradi in gioco, è y=0, e ciò si ha solo per a=0.
Non esiste modo di causare l'As. Orizz. y=3
L’asintoto verticale si ha dove si azzera il denominatore quindi
X^2+b=0
b=-4
L’asintoto orizzontale è il limite per x-> a + o - infinito
Se “a” fosse un numero (paramentro), la funzione divergirebbe a + o - infinito
Per a= 3/x il limite è 3
È la funzione è
(3x^2+6x)/(x^2-4)
L'asintoto verticale si ha per x che annulla il denominatore perciò deve essere b=-4. L'asintitoto orizzontale si ha quando, per x che tende ad infinito, la funzione ha un limite finito. In questo caso in numeratore è di terzo grado ed in denominatore di secondo, perchè il limite sia finito è necessario che in grado del numeratore sia minore o uguale del denominatore, perciò a deve abbassare di un grado il numeratore, cioè a=3/x. Così a non è più un parametro perché dipende da x ma non credo ci siano altre soluzioni.
per b = 4 c'è un asintoto verticale x = 2 (oltre ad un asintoto verticale x = -2), perché il denominatore si annulla per x = ±2.
Per quanto riguarda l'asintoto orizzontale, non è invece possibile soddisfare la condizione richiesta dall'esercizio. Se a ≠ 0, la funzione tende a ±∞ (a seconda che a > 0 oppure a < 0) per x → +∞ (e tende a ∓∞ a seconda che a > 0 oppure a < 0 per x → -∞). Se a = 0, allora c'è un asintoto orizzontale, y = 0 (ma è impossibile che sia y = 3).
Forse il testo dell'esercizio è incorretto, magari intendeva asintoto obliquo, oppure la funzione era diversa.
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