Come si possono determinare tutte le soluzioni intere dell'equazione X⁴-5X²Y²+6Y⁴-Y²-1 = 0
Trovo:
x⁴ - 5·x²·y² + 6·y⁴ - y² - 1 = (x² - 3·y² - 1)·(x² - 2·y² + 1) = 0
quindi le due note equazioni:
x² - 3·y² = 1,
x² - 2·y² = -1
forniscono le soluzioni dell'equazione iniziale.
Ossia:
x² - 3·y² = 1, con:
|x|: 1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226, ...
|y|: 0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, ...
x² - 2·y² = -1, con:
|x|: 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, ...
|y|: 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, ...
Per esse valgono, rispettivamente, le ricorrenze:
aₙ = 4·aₙ₋₁ - aₙ₋₂,
aₙ = 6·aₙ₋₁ - aₙ₋₂.
cosa indicano gli a(n)?
con la prima ricorrenza si ricavano le soluzioni della prima equazione (sia "x" che "y", naturalmente), e così la seconda ricorrenza per l'altra equazione.
a(n) fornisce le x o le y? O entrambe?
vale sia per "x" che per "y", relativamente alla stessa equazione. Ho usato la medesima lettera "a" per indicare semplicemente la *forma* della ricorrenza.
In buona sostanza,
miscela' una coppia di soluzioni per ottenere la "x" e la "y" della coppia seguente; nel mio caso, invece, la *forma* di ciascuna ricorrenza indicata - rispetto all'equazione a cui è associata - lega ogni "x" (o "y") alle due "x" (o "y") precedenti.
per il primo fattore della scomposizione
x=1 y=0
xₙ₊₁=2xₙ+3yₙ
yₙ₊₁=xₙ+2yₙ
e
x=-1 y=0
xₙ₊₁=2xₙ-3yₙ
yₙ₊₁=-xₙ+2yₙ
per il secondo fattore
x=-1 y=1
xₙ₊₂=3xₙ+4yₙ
yₙ₊₁=2xₙ+3yₙ
e
x=1 y=-1
xₙ₊₁=3xₙ-3yₙ
yₙ₊₂=2xₙ+3yₙ
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