Estendendo la funzione su tutto C risulta una funzione olomorfa, integrerei su una curva che descrive un segmento sull'asse reale da -R ad R, e che poi forma un semicerchio di raggio R, per poi passare al limite per R che va a +infinito, questo integrale fa zero, spezzo l'integrale sulla curva chiusa in in due in modo che per risolvere l'integrale scritto devo calcolare l'integrale sul semicerchio

Si procede definendo una funzione ausiliaria di variabile complessa z. Tale funzione risulta olomorfa in tutto il piano complesso. Definito un dominio D in C, essa anche in D soddisfa il teorema di Cauchy. Il dominio D verrà scelto in modo appropriato. La procdura è simile a quella utilizzata per il calcolo degli integrali di Fresnel.