Data l'equazione trigonometrica cos(ax+b)=cos(cx+d), la quale deve valere per ogni x reale
e dove a,b,c,d sono numeri reali fissati, con a,c>0, dimostrare che a=c.
Io credo di aver trovato una mezza maniera per mostrarlo, ma non mi convince più di tanto
sfruttando il periodo della funzione che deve essere uguale
I periodi sono 2pi/a e 2pi/c
Due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali o se sono opposti, a meno di un numero intero di giri della circonferenza goniometrica. Quindi:
ax+b=cx+d+2k pi oppure
ax+b=2 pi- cx-d+2k pi
se a=c mica è detto che è verificata l'equazione del testo, in quanto b potrebbe essere diverso da d o differire da esso per un angolo diverso da 2 pigreco; l'unica cosa che si può dire è che sono uguali se x= (( d-b) +/- 2k pi)/ a-c che per a=c non ammette soluzione.
cos(ax+b)=cos(cx+d) per ogni x reale implica
1) (a-c)x+(b-d)=2kπ (k intero) per ogni x reale, oppure
2) (a+c)x+(b+d)=2kπ (k intero) per ogni x reale.
1) ⇒ a-c=0 ⇒ a=c e b-d=2kπ ⇒ b=d+2kπ
2) ⇒ a+c=0 ⇒ a=-c e b+d=2kπ ⇒ b=-d+2kπ
Se c'è la condizione a, c>0 l’unica possibilità è la 1)
cos(ax+b)=cos(cx+d)
Metodo logico (continuità):
Si può fare per via grafica la logica è che la prima e la seconda oscillano in modo continuo tra -1 e 1 e sono doppiamente derivabili nel periodo.
Considerando il mcm del periodo (o il prodotto) avendo le stesse assunto tutti i valori tra -1 e 1 devono comunque aver avuto un valore in comune. In alternativa si procede per via aritmetica
Metodo analitico.
Se cos(X)=cos(Y) allora vale che
X=Y+k*2*Pi
X=-Y+k*2*Pi
Da cui
ax+b=cx+d+k*2*Pi
o
ax+b=-cx-d+k*2*Pi
Da cui:
x(a-c)=d-b+k*2*Pi
o
x(a+c)=d+b+k*2*Pi
Da cui
X=(d-b+k*2*Pi)/(a-c)
o
X=(d+b+k*2*Pi)/(a+c)
Quindi tranne il caso che A=C=0 l'equazione ha sempre una soluzione.
Nel caso in esame dipende dai valori di D e di B ovviamente se sono uguali in modulo l'eq. è verificata, se sono diversi no..
C'è sempre una soluzione.
Pongo f(x)=sen(ax+b)/cos(cx+d)
Differenzio f(x) rispetto ad x ed ho
La condizione d'uguaglianza tra i coseni mi permette di avere che anche sen(ax+b)=+/-sen(cx+d) e che quindi
f'(x)= a + c*(sen(ax+b)/cos(ax+b))^2
ma f(x) = tan(ax+b) e quindi f'(x)=a/(cos(ax+b))^2
Perciò dovrà valere che a/(cos(ax+b))^2 = a + c*(sen(ax+b)/cos(ax+b))^2
e tale uguaglianza è soddisfatta solo se a = c
In realtà non serve porre x uguale ad alcunché.
Si ha ax+b=cx+d+2kπ
Per la proprietà fondamentale dei polinomi si ha immediatamente che:
a=c
b=d +2kπ
Quindi si può aggiungere
ax+b=-cx-d+2kπ
Per la proprietà fondamentale dei polinomi si ha immediatamente che:
a=-c
b=-d +2kπ
Unendo le due soluzioni:
|a|=|c|
...
Siccome l'ipotesi è che a>0 e c>0, si ha a=c
Supponiamo esistano a, b, c, d tali che per ogni x si abbia o
1) (a-c)x+(b-d)=2k(x)π oppure
2) (a+c)x+(b+d)=2m(x)π, con k e m funzioni di x a valori interi
supponiamo sia a≠c, a≠-c e sia x₀ tale per cui valga la 1) e quindi
(a-c)x₀+(b-d)=2Mπ
Se prendo x=x₀+ε/(a-c) dove 0<ε<2π ottengo
(a-c)[x₀+ε/(a-c)]+(b-d)=2Mπ+ε, quindi non può valere la 1) e deve valere la 2
(a+c)[x₀+ε/(a-c)]+(b+d)=2Nπ
ora prendo x₁=x₀+ε/2/(a-c)
allora ho
(a-c)x₁+(b-d)=(a-c)[x₀+ε/(a-c)/2]+(b-d)=(a-c)x₀+(b-d)+ε/2=2Mπ+ε/2 e quindi per x₁ non vale la 1), quindi deve valere la 2)
(a+c)x₁+(b+d)=(a+c)[x₀+ε/(a-c)-ε/(a-c)/2]+(b+d)=2Nπ-ε(a+c)/2/(a-c)
Possiamo sempre scegliere ε tra 0 e 2π in modo che ε(a+c)/(a-c)/2 non sia multiplo intero di 2π e quindi per x₁ non vale né la 1) né la 2) ⇒⇐
Possiamo ripercorrere lo stesso ragionamento supponendo che per x₀ valga la 2), quindi non è possibile che per tutte le x valga sempre o la 1) o la 2) con a≠c e a≠-c.
mi pare in assoluto il più semplice: i periodi di cos(ax+b) e cos(cx+d) sono 2𝜋/|a| e 2𝜋/|c|, da cui |a| = |c|.
Un altro argomento (relativamente) semplice è il seguente: derivando cos(ax+b) = cos(cx+d) si ha:
a·sin(ax+b) = c·sin(cx+d).
Il massimo della funzione di sinistra (che vale |a|) deve essere uguale al massimo della funzione di destra (che vale |c|), da cui |a| = |c|.
Anche il procedimento dell'autore mi pare del tutto corretto. Derivando una seconda volta si ha:
-a²·cos(ax+b) = -c²·cos(cx+d),
e dato che cos(ax+b) = cos(ax+b) allora a² = c², cioè |a| = |c|.
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