Data una funzione y=f(x) c'è un modo generale per dimostrare che una dato valore di y non appartiene al codominio di f
Provare che la funzione non è suriettiva
Il metodo più generale è trovare un altra funzione limitata z(x) t.c z(x) > f(x) per ogni x e così troveresti un upperbound stesso ragionamento potresti con il < potresti trovare un lowerbound. In generale non credo tu possa usare il teorema di Weierstraß anche assumendo la continuità di f a meno che tu non sia interessato a intervalli chiusi e limitati di x
in generale il codominio è dato da quei valori y per cui l’equazione:
f(x) = y
ha almeno un soluzione per valori di x appartenenti al dominio. Questa può essere un’equazione banale o difficile, dipende dal caso.
Facciamo un esempio “facile”: sia f: ℝ → ℝ definita come f(x) = x² - 1. I valori y del codominio sono quei numeri tali per cui l’equazione x² - 1 = y ha soluzioni. Questa è un’equazione di secondo grado in x il cui discriminante è Δ = 1+y. Sappiamo che ha almeno una soluzione se Δ ≥ 0, cioè se y+1 ≥ 0, quindi se y ≥ -1. Il codominio di f è quindi [-1,+∞). Da notare che non ci serve esattamente trovare i valori di x che soddisfano l’equazione f(x) = y, basta sapere che l’equazione ammette almeno un soluzione.
l'ho sempre chiamato immagine della funzione
In f:A->B, ho sempre chiamato codominio semplicemente l'insieme B. Che coincide con l'immagine se e solo se f è suriettiva
il metodo che ho delineato serve a determinare l’immagine del dominio tramite la funzione.
Il codominio non si può “determinare”, ma va assegnato nella fase di definizione della funzione. L’immagine si può invece determinare (almeno in linea di principio) in base alla definizione della funzione.
Il motivo per cui scambiare codominio con insieme immagine è, di fatto, un "peccato veniale" è che è sempre possibile scegliere il codominio in modo che coincida con l'immagine, tra l'altro semplificando lo studio. Per esempio, y=x² è una funzione da R in R, ma nulla vieta di trattarla come una funzione da R in R+U{0} senza perdere nessuna informazione interessante in merito al suo studio e, anzi, comprendendo più rapidamente in quale parte del piano cartesiano vada disegnata.
se una funzione si debba chiamare "invertibile" semplicemente se è iniettiva (la suriettività viene "gratis" pur di scegliere un opportuno dominio).
nella teoria degli insiemi viene data una definizione molto elegante e un po' astratta di funzione dove dominio e codominio sono un punto di partenza imprescindibile (una funzione f: D → C è un sottoinsieme del prodotto cartesiano D×C tale che se {(x,y), (z,w)} ⊆ f con x = z, allora y = w). Poi, questa definizione molto teorica viene rimodellata in forma più maneggiabile, e nelle applicazioni pratiche in effetti la distinzione tra codominio e immagine diventa meno fondamentale.
definivamo le funzioni in algebra, tra insiemi in cui era importante stabilire l'eventuale esistenza di isomorfismi, già si partiva definendo una funzione da un insieme fino ad Im(f) direttamente, in modo da ragionare solo sull'iniettività e sulla conservazione delle operazioni. La definizione ulteriore che tu suggerisci è chiara, ma comunque l'insieme C può essere scelto oculatamente in modo da coincidere con l'immagine, senza che questo influisca sulla definizione.
Se la funzione è continua, puoi sfruttare l'analisi per rispondere:
- una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo (Weierstrass) e quindi per forza il suo condominio non è tutto R. Allora puoi identificare a priori il condominio come l'intervallo compreso tra ymin e ymax;
- se la funzione è continua è definita su tutto R e hai due automatiche, una a +infinito e l'altra a meno infinito allora tutto R è il codominio.
Funzioni continue a tratti si possono scomporre spesso in funzioni definite su semirette e funzioni definite su compatti o su aperti per cui valgono risultati simili!
anche se dipende dalla funzione.
Ci sono funzioni di note proprietà, es sin e cos non assumono valori fuori da [-1, 1], etc; a seconda di come si combinano i pezzi nella tua f(x) devi ragionarci e trarre le conclusioni.
In teoria la procedura sarebbe: data f(x) e il suo Dominio, D, se uguagli f(x) a un certo valore k e ti escono uno o più valori di x contenuti in D, allora k era nel Codominio.
Se invece non esiste alcun x che lo soddisfi, oppure esisterebbe ma è fuori da D, allora k è fuori dal Codominio.
Però questa procedura è attuabile solo per pochi punti critici da verificare, non ti dà un modo di identificare TUTTI e SOLI i valori del Codominio, giacché saranno probabilmente infiniti e spesso anche densi.
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