Dato un polinomio cubico a coefficienti razionali il cui grafico tocca l'asse delle ascisse tangenzialmente
mostrare che le sue radici sono razionali
Per il teorema fondamentale dell′algebra P₃(x) ha 3 radici di cui una reale e essendo tangente all′asse x, almeno due radici sono reali e coincidenti; sarà x₁=x₂ dette x₁ x₂ le due radici con μ(x₁)≥2 essendo μ la molteplicità.
* se μ(x₁)=3, P₃(x₁)=P₃′(x₁)=P₃′′(x₁)=0
con deg(P₃′′(x))=1 e P₃′′(x) a coefficienti razionali per cui x₁=x₂=x₃ è razionale
** se μ(x₁)=2, P₃(x) e P₃′(x) hanno il fattore comune x-x₁ che è il loro massimo comun divisore
gcd(P₃(x), P₃′(x))=x-x₁
avendo P₃(x) coefficienti razionali anche P₃′(x) avrà coefficienti razionali, e allora avrà coefficienti razionali anche il loro massimo comun divisore x-x₁
per cui x₁=x₂ è razionale, e il quoziente
P₃(x)/(x-x₁)²=Q(x)=x-x₃ sarà razionale.
potremmo anche pensare:
Essendo tangenziale all'ascissa, il polinomio e la sua derivata sono 0 nello stesso punto, quindi hanno una radice in comune. Due polinomi hanno una radice comune se il loro Risultante è pari a zero, si dimostra che il Risultante di un polinomio cubico e della sua derivata è -a*Δ, dove Δ è il discriminante del polinomio cubico e a è il coefficiente di x^3, quindi dovendo valere -a*Δ=0 e non potendo a essere a=0, si avrà necessariamente Δ = 0 che è esattamente la condizione perché il polinomio abbia tutte radici razionali (di cui 2 o tutte e 3 ripetute)
Soluzione 1. Detto p(x) il polinomio, le ipotesi ci dicono che ha una radice a in comune con la sua derivata, dunque
p(a) = p'(a) = 0.
Anche la derivata p'(x) ha ovviamente coefficienti razionali. Dividiamo p(x) con la sua derivata p'(x), troviamo quoziente q(x) e resto r(x), ossia q(x), r(x) tali che
p(x) = p'(x)q(x) + r(x),
con r(x) di grado <=1; anche q(x), r(x) hanno come si sa coefficienti razionali. Prendendo x=a sopra, troveremo che r(a)=0; ne segue che a e' razionale. Ma se a e' razionale, dalla fattorizzazone
p(x) = k(x-a)^2)(x-b)
segue immediatamente che anche l'altra radice b e' razionale.
Soluzione 2. Con la nota sostituzione y=x-a/3b e' sempre possibilie ridurre la cubica generica
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
in cubica depressa
g(y) = y^3 +py+ q;
e se i coefficienit della prima sono razionali cosi' lo sono anche quelli della seconda.
Non e' dunque restrittivo supporre che la cubica data sia depressa,
f(x) = x^3+ px+c,
con p, c razionali. Chiamiamo y la sua radica almeno doppia e z l'altra radice; dalle formule di Viete
2y+z=0,
y^2 +2yz=p
y^2z=-q,
dunque
y^2 = -p/3
y^3=q/2.
Ne segue dividendo queste ultime membro a membro che
y=-2p/3q razionale.
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