determina a e b affinché il grafico della funzione f(x) = ax^2 + bx/(1+x)^2 abbia nel punto A(2;0) la tangente perpendicolare
la tangente perpendicolare alla retta di equazione 18 x - 4y = 0
la prima equazione non è corretta: bisogna sostituire (x;y) = (2;0), incluso al denominatore, quindi deve essere:
0 = (4a+2b)/(1+2)² = (4a+2b)/9.
Per quanto guarda la seconda condizione, bisogna ricordare due cose:
1) la tangente alla curva f nel punto di coordinata x ha come coefficiente angolare f'(x);
2) se due rette di coefficienti angolari m₁ ed m₂ sono perpendicolari, i coefficienti angolari son legati da m₁m₂ = -1.
Quindi, se m è il coefficiente angolare della retta 18x + 4y = 0, la condizione diventa f'(2) = -1/m
ma la frazione vale 0 se il suo Num vale 0 (purché il Den non si annulli al contempo...), quindi basta dire che 4a+2b=0
(4a+b)/(1+x)² che mi pare concettualmente sbagliato. Se l'ordinata non fosse stata 0, non avrebbe portato a nulla
A compendio aggiungo che la condizione di ortogonalità si deduce tramite prodotto scalare tra i 2 vettori delle 2 rette: (x, m1x) * (x, m2x)T=0 => x^2+m1m2x^2=0 => m1m2=-1
Condizione di appartenenza di un punto ad una curva : 0= (4a+2b)/(1+2)^2;
quindi
4a+2b=0;
Coefficiente angolare retta tangente al grafico in (2;0) —> m=f’(2)
f’(x)= [(2ax+b)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+bx)]/(1+x)^4;
f’=[(2ax+b)(1+x)-2ax^2-2bx)]/(1+x)^3;
f’= [2ax+b+2ax^2+bx-2ax^2-2bx]/(1+x)^3;
f’= (2ax+b)/(1+x)^3;
f’(2)= (4a+b)/27
(4a+b)/27= 2/9;
4a+b-6=0;
Quindi le condizioni sono
4a+2b=0;
4a+b-6=0;
Risolvendo per riduzione
b=-6;
a= 3;
a=1 e b=-2.
Il coefficiente angolare della retta data è -9/2. La perpendicolare ha quindi coefficiente 2/9.
Bisogna porre f'(x)=2/9 nel punto A (2;0)
f'(x)=((2ax+b)(1+x)^2-(ax^2+bx)(2x+2))/(1+x)^4
f'(2)=(9(4a+b)-6(4a+2b))/81
f'(2)=(12a-3b)/81=(4a-b)/27
(4a-b)/27=2/9
4a-b=6
Sottraendo alla condizione di appartenenza:
3b=-6
b=-2
a=1
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