Determinare le soluzioni dell’equazione: 6X^2 -19XY + 15Y^2 = 91 in NxN (N è l’insieme dei naturali)

Determinare le soluzioni dell’equazione: 6X^2 -19XY + 15Y^2 = 91 in NxN (N è l’insieme dei naturali)

Il discriminante dell'equazione di secondo grado in X deve essere un quadrato perfetto A². Ne consegue l'equazione
A² - Y² = (A + Y)(A - Y) = (2³)*3*7*13.
Imponendo che i due fattori siano entrambi pari (per avere soluzioni razionali) e
A + Y > A - Y, si ottengono i valori interi positivi di A e Y. Sostituendoli nell'equazione di partenza si trova
X =(19Y ± A)/12 accettabile solo se è intero positivo.
Soluzioni:
x,y: -452, -271 -268, -179 -44, -25 -4, -5 4, 5
6x²-19xy+15y²=(2x-3y)(3x-5y)=91=1*91=(-1)*(-91)=91*1=(-91)*(-1)
(x,y)=(268,179) (x,y)=(-268,-179) (x,y)=(452,271) (x,y)=(-452,-271).
Oltre alle soluzioni indicate ci sono anche le seguenti: (x,y)=(4,5) (x,y)=(-4,-5) (x,y)=(44,25) (x,y)=(-44,-25)

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pasquale.clarizio

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