Determinare le soluzioni intere positive dell'equazione X² + 5Y² = 7UVZ²
x² mod 7 può fornire 0, 1, 2 e 4.
Caso 0.
5·y² è divisibile per 7 quando y è un multiplo di 7 (y = 7·k) e così pure x (x = 7·h): quindi trovo u, v e z² scomponendo in tre divisori 7·(h²+5·k²), con i naturali h e k scelti a piacere e potendo sempre assumere u, v e z unitari.
Caso 1.
5·y²+1 è divisibile per 7 quando y è del tipo [7·(2·k+1)+(-1)ᵏ]/4 e x è del tipo [7·(2·h+1)-3·(-1)ʰ]/4 (lo si accerta con passaggi di routine), dove i naturali h e k sono scelti a piacere: quindi trovo u, v e z² scomponendo in tre divisori (x²+5·y²)/7.
Caso 2.
5·y²+2 è divisibile per 7 quando y è del tipo [7·(2·k+1)-3·(-1)ᵏ]/4 e x è del tipo [7·(2·h+1)+5·(-1)ʰ]/4, con i naturali h e k scelti a piacere: quindi trovo u, v e z² scomponendo etc.
Caso 4.
5·y²+4 è divisibile per 7 quando y è del tipo [7·(2·k+1)+5·(-1)ᵏ]/4 e x è del tipo [7·(2·h+1)+(-1)ʰ]/4, con i naturali h e k scelti a piacere: quindi trovo u, v e z² scomponendo etc.
Esempio per il caso 4, con h = 2·m e k = 2·n+1:
x = 7·m+2,
y = 7·n+4,
u·v·z² = 7·m²+4·m+35·n²+40·n+12.
Se m = n = 1, u·v·z² = 1·2·7²: 9²+5·11² = 7·1·2·7²
Ovviamente si può sempre considerare Z² = 1
anche se potrei pensarla anche in questo modo:
X² e Y² possono essere o no multipli di 7 può avvenire in generale che
X=0,1,2,3,4,5,6 mod 7
Y=0,1,2,3,4,5,6 mod 7
ma di tutte le coppie di residui quelle per cui
X²+5Y²=0 mod 7
sono
1. 0, 0
2. 1, 2
3. 1, 5
4. 2, 3
5. 2, 4
6. 4, 1
ossia
1)
X=7m
Y=7n
UVZ²=7(m²+5n²)
2)
X=7m+1
Y=7n+2
UVZ²=7m²+2m+35n²+20n+3
3)
X=7m+1
Y=7n+5
UVZ²=7m²+2m+35n²+50n+18
4)
X=7m+2
Y=7m+3
UVZ²=7m²+4m+35n²+30n+7
5)
X=7m+2
Y=7n+4
UVZ²=7m²+4m+35n²+40+12
6)
X=7m+4
Y=7m+1
UVZ²=7m²+8m+35n²+10n+3
giocando sui valori di m, n si trovano le soluzioni positive, U V Z² possono valere 1.
ad esempio per
m=n=1
ho
1)
7²+5·7²=7·7·6
X=Y=7
Z=1 U=2 V=3 ecc ecc
2)
8²+5·9²=7·67
X=8 Y=9 uno tra Z=1 U=1 V=67
3)
X=8 Y=12
8²+5·12²=7·7·(2²)²
U=7 V=1 Z=4 ecc ecc
4)
X=9 Y=10
9²+5·10²=7·83
U=83 V=1 Z=1
5)
X=9 Y=11
9²+5·11²=686=7·2·7²
U=2 V=1 Z=7 ecc ecc
6)
X=11 Y=8
11²+5·8²=7·7·3²
U=1 V=7 Z=3
ma in questo caso: nel caso 2, x può essere anche del tipo 7·m-1 e y del tipo 7·n-2
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