dimostrare che il polinomio 24x⁴ +154x^3 + 269x² + 154x + 24 è divisibile per 625 qualunque sia il numero naturale n
Posto x = 6^n
Il polinomio
p(x)=24x⁴+154x³+269x²+154x+24
è a coefficienti simmetrici per cui se x* è soluzione lo è pure 1/x*
si può fattorizzare notando che
-4 è una radice e quindi pure -1/4
p(x)=(4x+1)(x+4)(6x²+13x+6)
il trinomio di 2º grado puo fattorizzarsi ha radici
-2/3 e -3/2
in definitiva
p(x)=(4x+1)(3x+2)(2x+3)(x+4)
osserviamo che
p(1)=5⁴=625
inoltre il residuo n-simo
∀n∈ℕ
6ⁿ ≡ 1 mod 5
per cui per x=6ⁿ
p(6ⁿ)≡625≡0 mod 625
il polinomio dato si scompone come p(x)=(4x+1)(3x+2)(2x+3)(x+4). Lo vediamo con uno dei metodi standard: ne cerchiamo le eventuali radici razionali nella forma p/q con p e q tra gli multipli di 8 (3 è un fattore comune dei coefficienti); in alternativa, essendo un polinomio palindromico, ne cerchiamo una scomposizione del tipo p(x) =24(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) per opportuni a, b.
Ora, poiché 5 divide 6-1, segue che 5 divide 6^n -1 =(6-1)(6^(n-1)+6^(n-2)+...+1). Detta diversamente, 6^n diviso per 5 da resto 1, ossia 6^n=5q+1 per un opportuno intero q, il quoziente della divisione. I quattro fattori di p(x) sono del tipo ax +b con a, b interi tali che a+b=5. pertanto, quando sostituiamo x=6^n, troviamo a6^n+b= a(5q+1)+b= 5aq+a+b, cioè troviamo sempre multipli di 5. Dunque, abbaimo quattro fattori, ciascuno multiplo di 5, allora il loro prodotto p(6^n) sarà un multiplo di 5*5*5*5=625.
osservazione:
possiamo affermare che 6ⁿ = 5·k+1 per un certo k, poiché 6 = 5+1.
Se prendiamo p·(5·k+1)+q, otteniamo un numero di questo tipo: 5·w+p+q.
Ora, abbiamo che:
f(x) = 24·x⁴ +154·x³ + 269·x² + 154·x + 24 = (4·x + 1)·(3·x + 2)·(2·x + 3)·(x + 4)
quindi, ogni fattore al secondo membro ha la somma "p+q" pari a 5, perciò ciascuno di essi è un multiplo di 5.
f(x), pertanto, è un multiplo di 5⁴ per qualsiasi intero x congruo a 1 modulo 5.
P(x) = 24x⁴ + 154x³ + 269x² +154x + 24=(4x+1)(x+4)(3x+2)(2x+3)
x=6ⁿ=10a+6
P(a)=625*4(8a+5)(a+1)(3a+2)(4a+3)
625*4|P(a).
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