Dimostrare che il polinomio A(n) = n^1320 - 1 è divisibile per il polinomio

Dimostrare che il polinomio A(n) = n^1320 - 1 è divisibile per il polinomio

dove il polinomio è:

B(n) = n^13 - n^10 + n^9 + n^7 - n^6 - n^4 +
n^3 - 1.
Sia Q(n) il polinomio quoziente.
Determinare Q(1).
B(n) si scompone come
B(n) = n^13 - n^10 + n^9 + n^7 - n^6 - n^4 + n^3 - 1 = n^10(n^3-1)+n^6(n^3-1)
+ n^4(n^3-1) +n^3-1
= (n^3-1)(n^10+n^6+n^4+1)
= (n^3-1)[n^6(n^4+1)+n^4+1]
= (n^3-1)(n^4+1)(n^6+1)
con i fattori n^3-1, n^4+1, n^6+1 due a due relativamente primi.
Si vede che sono due a due relativamente primi perché non hanno radici complesse in comune; o, se non vogliamo disturbare i numeri complessi, possiamo ragionare cosi (col'algoritmo euclideo):
n^4+1= n(n^3-1)+ n+1
ed ogni comune multiplo di n^4+1 e n^3-1 sarebbe un multiplo anche di n+1, quindi se n^4+1, n^3-1 avessero in comune un multiplo non banale, allora avrebbero n=-1 come radice, il che non è vero. Similmente, si ragiona anche per le altre due coppie.
Pertanto, per vedere che B(n) | A(n) occorre e basta dimostrare che n^3-1, n^4+1, n^6+1 dividano A(n).
Dalla formula A^d - B^d = (A-B)(A^(d-1)+A^(d-2)B+...+B^(d-1)) si deduce facilemte il seguente fatto.
Se k|p, allora n^k-1 divide n^p -1
Dim. Sia p=kd per qualche intero d. Allora n^p-1= (n^k)^d-1 =(n^k-1)(n^(k(d-1))+...+1).
Ora 1320 = 24*5*11, pertanto, in virtù del fatto sopra ricordato,
n^3-1 | A(n),
n^4+1 | n^8-1 | A(n),
n^6+1 | n^12 - 1 | A(n).
Dunque, ne consegue che B(n) | A(n).
Per il secondo quesito, deriviamo A(n)=B(n)Q(n) ottenendo
A' = B'(n)Q(n) + B(n)Q'
e prendendo ivi n=1,
A'(1) = B'(1)Q(1).
A'(1) = 1320 mentre
B'(1) = lim_{n->1} (B(n)-B(1))/(n-1) = il valore di (n^2+n+1)(n^4+1)(n^6+1) in n = 1, cioè = 3*2*2=12.
Pertanto, Q(1) = 1320/12 = 110.

About Post Author

pasquale.clarizio

error: Content is protected !!
Advertisment ad adsense adlogger