Dimostrare che per qualunque n e m interi positivi, l'integrale 2*∫[(2*Cos[x])^(2m)*(2*Sin[x])^(2n)] dx {x,0,π/2} è un multiplo intero di π
Si può dimostrare usando opportune integrazioni per parti che conducono a delle formule di riduzione e a delle relazioni di ricorrenza.
si ha
I=2∫(2·cos(x))²ᵐ(2·sin(x))²ⁿdx{x,0,π/2}
I=2²⁽ᵐ⁺ⁿ⁾⁺¹I(2m,2n)
I(2m,2n)
=∫cos²ᵐ(x)sin²ⁿ(x)dx{x,0,π/2}
considero
h=2n
k=2m
I(h,k)=∫sinʰ(x)cosᵏ(x)dx{x,0,π/2}
se integro per parti arrivo facilmente alla
I(h,k)=(k-1)·I(h+2,k-2)/(h+1)
essendo h k pari
posso svolgere la ricorrenza su h
I(h,k)=
((k-1)!!(h-1)!!/(h+k-1)!!)·I(h+k,0)
poi su k:
I(h+k,0)=I(r)=∫sinʳ(x)dx{x,0,π/2}
r=h+k
integro ancora per parti con r pari
I(r)=((r-1)/r)·I(r-2)
mi rimane dopo la ricorrenza
∫dx{x,0,π/2}=π/2
I(h+k,0)=((h+k-1)!!/(h+k)!!)π/2
quindi:
I(h,k)=((h-1)!!(k-1)!!/(h+k)!!)π/2
e infine
I=2²⁽ᵐ⁺ⁿ⁾⁺¹((2n-1)!!(2m-1)!!/((2(n+m))!!)π/2
I=2²⁽ᵐ⁺ⁿ⁾((2n-1)!!(2m-1)!!/((2(n+m))!!)π
Ad esempio
2m=2
2n=4
I=2⁶·(3!!1!!/6!!)π=4π
2m=4
2n=8
I=2¹²·(7!!3!!/12!!)π=28π
2m=14
2n=6
I=2²⁰·(5!!13!!/20!!)π=572π
La formula può ridursi tenendo conto che
2²ˢ/(2s)!!=2ˢ/s!
e diviene
I=(2ᵐ⁺ⁿ(2n-1)!!(2m-1)!!/(n+m)!)π
avevo dimenticato che i fattori 2 di cos e sin andavano elevati a potenza, ottengo:
I=2²⁽ᵐ⁺ⁿ⁾((2n-1)!!(2m-1)!!/((2(n+m))!!)π
ovvero semplificando:
I=(2ᵐ⁺ⁿ(2n-1)!!(2m-1)!!/(n+m)!)π
con frazione
certamente intera in quanto i fattori a denominatore si semplificano con dei fattori numeratore. (non son riuscito a trovare un modo per esprimerlo in forma piu chiusa)
Ad esempio
2m=2
2n=4
I=2⁶·(3!!1!!/6!!)π=4π
2m=4
2n=8
I=2¹²·(7!!3!!/12!!)π=28π
2m=14
2n=6
I=2²⁰·(5!!13!!/20!!)π=572π
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