due equazioni. Per entrambe, si cercano solo le soluzioni intere (siano cioè n, m ≥ 0 interi)
n! + 2 = m²;
n! + 1 = m².
Per la prima, esiste un metodo relativamente semplice per trovare tutte le soluzioni. La seconda invece costituisce un problema tuttora aperto (detto "problema di Brocard"). Si conoscono alcune coppie di soluzioni (potete provare a cercarle, a tentativi), ma non si sa se ce ne siano altre, molto più grandi.
In generale, per un'equazione del tipo (k intero positivo):
n! + k = m²,
è stato dimostrato che il numero delle soluzioni è finito se k non è un quadrato perfetto (come nel primo esempio, k = 2), mentre resta un problema aperto il caso in cui k sia un quadrato perfetto (come nel secondo esempio, k = 1 = 1²).
Mi ha colpito come due equazioni a prima vista innocenti, e molto simili tra loro, sono l'una abbastanza banale, l'altra ancora irrisolta nonostante gli sforzi dell'intera comunità matematica mondiale.
per k = 2. Si può riscrivere:
n! = m² - 2.
Ora, supponiamo che m ≥ 3. Il membro di sinistra è chiaramente un multiplo di 3, perché nel prodotto che definisce il fattoriale n×(n-1)×···×3×2×1 compare almeno un fattore 3. Invece, il numero m² - 2 non può mai essere un multiplo di 3, per nessun valore di m. Quindi l'equazione non ha soluzioni se n ≥ 3, perché comporta l'uguaglianza tra un multiplo ed un non-multiplo di 3.
Ma come mai m² - 2 non è mai un multiplo di 3? Tecnicamente, si dice che 2 non è un residuo quadratico modulo 3. In parole più povere, si possono presentare tre casi: deve esistere un interno k tale che:
m = 3k ⇒ m² - 2 = 9k² - 2 (non divisibile per 3);
m = 3k+1 ⇒ m² - 2 = 9k² + 6k - 1 (non divisibile per 3);
m = 3k+2 ⇒ m² - 2 = 9k² + 12k + 2 (non divisibile per 3).
Questo perché i termini 9k², 6k e 12k sono tutti divisibili per 3, mentre l'addendo rimanente è -2, -1 oppure +2, che non è divisibile per 3.
Restano quindi solo da verificare i casi n = 0, 1, 2, e si vede facilmente che l'unica soluzione si ha per m = n = 2.
Il caso generale, k intero ma non quadrato perfetto, si dimostra in modo simile. Si può dimostrare che esiste un numero p tale che m² - k non è divisibile per p, mentre il membro di sinistra n! sarà sempre divisibile per p se n ≥ p. Quindi non ci sarà mai soluzione per n ≥ p, e restano da verificare, caso per caso, "solo" i valori di n da 1 a p. Le soluzioni sono pertanto sempre in numero finito.
soluzioni note del problema di Brocard:
2!+2=2²
Γ(n+1)+1=m²
4!+1=5²
5!+1=11²
7!+1=71²
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