Esiste un ordine dell'insieme di tutti i numeri naturali in cui ci sono infiniti di questi numeri tra due di essi?
Sì che esiste, si considera l'insieme Q con l'ordinamento usuale, poi si prende una funzione bigettiva F:N-->Q, e si afferma "m<n in N se e solo se F(m)<F(N) in Q". In questo modo N e Q diventano isomorfi per l'ordine.
Un modo per elencare tutti i numeri razionali positivi senza ripetizioni è questo qui:
1/1,
1/2, 2/1,
1/3, 3/2, 2/3, 3/1,
1/4, 4/3, 3/5, 5/2, 2/5, 5/3, 3/4, 4/1,
....
(questo elenco "triangolare" si ricorda così, si parte da 1/1 e poi si scrivono sotto due frazione "figlie" di 1/1 con la regola che la frazione a/b ha a/(a+b) e (a+b)/b come "figlie", poi si passa al secondo rigo e si continua...)
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