Funzioni in due variabili: Sia data la funzione f(x, y) di due variabili che vale 0 nell’origine
(x, y) ≠ (0, 0), f(x, y) = (x^2+y^2)/√(x^2+2y^2). Allora:
(a) f(x, y) è continua nell’origine; vera
(b) f(x, y) è differenziabile nell’origine; falsa
(c) f(x, y) è limitata nel disco x^2 + y^2 ≤ 1. vera
Riporto in figura il tentativo che ho fatto per la (a) e la (b).
Dove per la a) se ho fatto bene i calcoli risulta essere vera perchè il lim (x,y)->(0,0) f(x,y) = 0.
La (b) mi lascia un po perplesso ho eseguito il limite in figura, ma non sono sicuro che le motivazioni riportate giustifichino la non esistenza del limite.
la (c) non saprei bene come approcciarla. Non credo basti dimostrare che il limite sulla restrizione y=x di f(x,y) per x->+inf vada ad infinto per dedurre da questo che all'interno x^2 + y^2 f(x,y) sia limitata.
La (b) mi lascia un po perplesso ho eseguito il limite in figura, ma non sono sicuro che le motivazioni riportate giustifichino la non esistenza del limite.
la (c) non saprei bene come approcciarla. Non credo basti dimostrare che il limite sulla restrizione y=x di f(x,y) per x->+inf vada ad infinto per dedurre da questo che all'interno x^2 + y^2 f(x,y) sia limitata.
(x²+y²)/√(x²+2y²)≤(x²+2y²)/√(x²+2y²)=√(x²+2y²) e da qui segue immediatamente la limitatezza se -1≤x≤1 e -1≤y≤1 e quindi anche nel disco x²+y²≤1.
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