ho un pentagono irregolare cioè una stella avente 5 angoli. calcolare i rispettivi angoli
Gli angoli interni del pentagono irregolare centrale hanno ampiezza pari a 180°-epsilon-gamma (quello più in basso). Ciascuno degli angoli supplementari ad esso misurano epsilon+gamma. Analogamente beta+delta. La somma degli angoli interni del triangolo in basso a sinistra sarà allora alfa+epsilon+gamma+beta+delta e il risultato è 180°.
il poligono costituito dagli n vertici dai vertici ha la somma degli angoli interni (n -2)pi come e' ben noto.
Se congiungiamo le n diagonali formate saltando solo 1 vertice alla volta, si formano: il poligono grande (lati in nero nella figura), lo stellato che ci interessa, un poligono interno e piu' piccolo sempre con n vertici (lati in rosso nella figura) ed anche n triangoli che hanno una base sul lato del poligono esterno, indicati con T1,T2,...Tn in figura.
Allora,
1) parto dagli angoli interni del poligono "grande",
2) sottraggo gli angoli interni degli n triangoli,
3) e poi sommo gli angoli interni del poligono "piccolo" per compensare la sottrazione degli angoli evidenziati in figura
In questo modo trovo (n -2)pi - n pi + (n -2)pi =(n-4)pi
dimostrazione probabile:
Appoggio una penna in alfa, con la punta verso l'alto e posizionata sul lato che va verso delta, e memorizzo la sua posizione.
Ruoto la penna dell'angolo alfa.
Sposto la penna verso l'angolo gamma, senza ruotarla.
Quando raggiungo gamma, la ruoto dell'angolo gamma.
Sposto la penna verso l'angolo epsilon, senza ruotarla.
Quando raggiungo epsilon, la ruoto dell'angolo epsilon.
Sposto la penna verso l'angolo beta, senza ruotarla.
Quando raggiungo beta, la ruoto dell'angolo beta.
Sposto la penna verso l'angolo delta, senza ruotarla.
Quando raggiungo delta, la ruoto dell'angolo delta.
Sposto la penna verso l'angolo alfa, senza ruotarla.
Adesso la penna si trova in alfa, come all'inizio, ma girata dall'altra parte, cioè si è girata di 180°, e si è girata in cinque fasi delle cinque ampiezze dei cinque angoli.
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