Devi considerare la matrice completa e quella incompleta. Vedere se queste due hanno lo stesso rango o meno. Se hanno lo stesso rango applicando il teorema di RC riesci a trovare le infinito ^n- rk soluzioni. Se invece hanno ranghi diversi le due matrici il sistema non ammette soluzioni. Ovviamente in questo caso il sistema è sempre compatibile in quanto ammette almeno la soluzione banale ossia (0,0,0,0) visto che hai 4 incognite

Ora se consideriamo le due matrici quella completa e incompleta osserviamo subito che la matrice incompleta è 4 x4. Questa ha determinante in funzione di k. Ora quindi escludendo i valori di k che annullano questo determinante per i restanti il determinante sarà diverso da zero. Quindi la matrice incompleta ha rango 4. Considero la matrice completa questa è 4 x 5. Estraggo un minore di ordine 4 e vedo che questo ha rango 4. Il minore di ordine 4 è proprio uguale alla matrice incompleta. Segue quindi che per tutti i valori di k che non annullano il determinante della matrice incompleta le due matrici avranno rango pari a 4. Quindi il sistema ammette 1 sola soluzione. Infinito alla n- rk A soluzioni. n= numero delle incognite. Rk A rango della matrice incompleta. Ora bisogna vedere che succede per i valori di k che annullano il determinante.

Per k=0 si vede che il sistema è indeterminato (infatti si può provare che det=0 per k=0).

Poi ho usato Gauss per mostrare che ammettesse come unica soluzione quella banale se k=/=0.

Infine, come ultima cosa, ho mostrato com'è fatta la soluzione parametrica nel caso in cui k=0.

Non ho svolto in modo ordinato l'esercizio, volevo solo dare un'idea di come appariva la soluzione parametrica.

Il sistema è omogeneo.

Quindi ammette la soluzione banale (0,0,0,0); inoltre ammette soluzioni diverse dalla banale solo se il determinante della matrice del sistema è nullo...

Il determinante del sistema è 2k^2 ... e quindi, ci saranno soluzioni non banali, che saranno infinito alla (n-k) secondo il teorema di Rouchè. Se k=0 la matrice diventa

1 2 -1 0

-1 -2 1 0

0 2 1 0

-1 - 2 1 0

Si verifica facilmente che il rango è due... quindi il sistema ammette le (inf)^(4-2) soluzioni

x1 = - 4x2

x3 = - 2x2

con x2 e x4 parametri.