il paradosso di monthy hall
È un problema sulla probabilità
Ci sono tre porte A, B, C chiuse. Dietro ciascuna possiamo trova un’automobile o una capra. Solo una nasconde un’automobile.
Si vuole trovare la probabilità di vincere l’automobile attraverso il seguente esperimento dove c’è un giocatore ed un conduttore:
1- Il giocatore sceglie una porta ma non la apre.
2- Il conduttore, che conosce la situazione, apre una parta e mostra che c’è una capra.
3- il conduttore propone al giocatore la possibilità di cambiare la scelta iniziale.
La probabilità di vincere aumenta se si cambia o no?
Sembrerebbe che la probabilità non cambi in quanto il giocatore si trova davanti a due porte e solo dietro una c’è l’automobile.
In realtà, cambiando, la probabilità raddoppia. Propongo la seguente spiegazione:
L’esperimento si può suddividere in 4 eventi elementari incompatibili:
E1: La prima scelta è l’automobile e non cambia:
E2: La prima scelta è l’automobile è cambia;
E3: La prima scelta è una capra e non cambia
E4: La prima scelta è una capra e cambia.
Vediamo le probabilità di vincita nei vari casi:
P(E1) = 1/3
P(E2) = 0
P(E3) = 0
P(E4) = 2/3
Il quesito è collegato ad un gioco televisivo americano ed ha suscitato molto interesse per decenni.
Osservazione:
"Sembrerebbe che la probabilità non cambi in quanto il giocatore si trova davanti a due porte e solo dietro una c'è l'automobile"
È qui l'inghippo. Il semplice fatto di avere due porte - da solo - non garantisce che la probabilità che ciascuna nasconda l'auto sia del 50%. Conta anche come si è arrivati alla situazione in questione. Nel caso specifico: quando il conduttore piazza l'auto dietro una delle tre porte in maniera casuale, allora si può concludere che la probabilità che ciascuna porta nasconda l'auto sia del 33.3...% circa, proprio perché il posizionamento è fatto in maniera casuale. Tuttavia, quando il conduttore apre/elimina una delle porte rimanenti rivelando una delle due capre, si tratta di un processo deterministico, non casuale (perché lui sa dov'è l'auto e non aprirà/eliminerà mai la porta con l'auto se questa è tra le rimanenti). L'auto non viene riposizionata casualmente dietro le due porte rimanenti, il posizionamento è sempre quello originario! La probabilità che l'auto si nasconda dietro la porta scelta inizialmente dal concorrente è 1/3, la probabilità che sia dietro una delle altre due è, complessivamente, 2/3. Queste probabilità sono dettate dal posizionamento casuale dell'auto dietro una delle tre porte. Quando una delle due porte non scelte viene aperta/eliminata, svelando la capra, viene rivelato che essa ha probabilità 0 di nascondere l'auto: di conseguenza, l'altra porta non scelta ha probabilità 2/3 (dal momento che, come detto, la probabilità complessiva era 2/3).
Se proprio la cosa non convince:
1. Scelgo A e l'auto è dietro A. Il conduttore aprirà/eliminerà indifferentemente una porta tra B o C, e lascerà in gioco l'altra. Vinco se non cambio.
2. Scelgo A e l'auto è dietro B. Il conduttore aprirà/eliminerà C e lascerà in gioco B. Vinco se cambio.
3. Scelgo A e l'auto è dietro C. Il conduttore aprirà/eliminerà B e lascerà in gioco C. Vinco se cambio.
I casi 4-5-6 sono analoghi, non cambiando vinco in un solo caso, cambiando vinco in due casi. Stessa cosa per i casi 7-8-9. Cambiando si vince in 6 casi su 9 (2/3), non cambiando solo in 3 casi su 9 (1/3).
Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3: auto, capra n 1 , capra n 2
Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile.