e il caso (Zn,+)x(Zm,+) (se i gruppi in questione sono ciclicici finiti di ordine rispettivamente n e m) dato che se un gruppo è ciclico infinito è isomorfo a (Z,+) mentre se è ciclico finito di ordine n è isomorfo a (Zn,+). Non capisco perché è sufficiente lavorare su (Z,+)x(Z,+) e (Zn,+)x(Zm,+),non capisco che cosa centrano i sopracitati isomorfismi
Se C1 e C2 sono ciclici di ordine m ed n rispettivamente allora C1xC2 è ciclico se e solo se (m,n)=1, se invece uno e finito e l’altro no non è ciclico, se entrambi sono cicilici infiniti non è ciclico
perché nello studiare se il prodotto di gruppi ciclici è ciclico è sufficiente ricondursi allo studio (a seconda del caso in esame) del gruppo prodotto ZxZ o ZnXZm
che se C1 e C2 sono ciclici finiti allora, C1 x C2 è ciclico se e solo se (|C1|,|C2|)=1 non dovrebbe essere particolarmente difficile, così dimostri il punto
tutti i gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi (basta identificare i generatori).
A questo punto l'isomorfismo passa al prodotto:
Se G è iso ad H e X e iso ad Y,
allora G×X è isomorfo a H×Y
perché per studiare se il gruppo di ciclici è ciclico è sufficiente studiare il caso(a seconda del caso in esame) ZxZ o ZnxZm?
Se abbiamo detto che tutti i gruppi ciclici sono della forma Z oppure Zₙ , allora il prodotto di due gruppi ciclici sarà per forza della forma ZxZ oppure ZxZₙ oppure ZₙxZₘ
ma da un punto di vista rigoroso cosa vuol dire l’espressione “della forma” ?
Significa che sono isomorfi
se due strutture sono isomorfe significa che dal punto di vista della struttura hanno esattamente le stesse proprietà.
Più concretamente, le proprietà di una struttura si trasferiscono all'altra attraverso l'isomorfismo.
Per esempio, se tu hai quattro mele e quattro pere, dal punto di vista del numero 4 si comportano allo stesso modo
Penso intendesse che il prodotto di un gruppo ciclico infinito con uno finito non è ciclico (contiene un elemento di ordine infinito e uno di ordine finito) e quindi restano quei due casi. Il prodotto di due gruppi ciclici infiniti non è ciclico (dimostrarlo). Invece per il prodotto di due gruppi ciclici finiti dipende dagli ordini... Per esempio Z_2×Z_2 non è ciclico perché ha 4 elementi che hanno tutti ordine minore o uguage a 2, mentre Z_2×Z_3 lo è perché contiene 6 elementi e ha un elemento di ordine 6
Dubbio:
Quello segue dalla definizione che hai usato di gruppo ciclico. Io lo definisco come un gruppo generato da un solo elemento, quindi isomorfo a un quoziente di Z. Quindi o è isomorfo a Z, o a Zm. Quindi il prodotto di due gruppi ciclici o è
isomorfo a Z x Z, o a Z x Zm, o a Zm x Zn
vuoi sapere perché se un gruppo è isomorfo a un gruppo ciclico allora è ciclico. Questo in effetti segue dalla definizione: quella data sopra, come dicevo, è equivalente a dire che un gruppo è ciclico se e solo se è isomorfo a Z oppure a Zm, e in questo caso la proprietà è ovviamente invariante per isomorfismo. A seconda delle definizioni che si scelgono per una proprietà può essere più o meno facile verificare che se un gruppo ha questa proprietà allora anche tutti i gruppi a lui isomorfi la hanno
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