TEOREMA. Sia Dⁿ⁺¹ la palla chiusa di Rⁿ⁺¹. Allora ogni funzione continua f: Dⁿ⁺¹⭢Dⁿ⁺¹ ammette almeno un punto fisso, ossia esiste almeno un punto x∈Dⁿ⁺¹ tale che f(x)=x.

Questo celebre ed importante risultato venne dimostrato per la prima volta (indipendentemente) da L. E. .J. Brouwer e da J. Hadamard, vedi [1] e [2]. In generale, il punto fisso non è unico: si pensi ad una riflessione rispetto ad un iperpiano di simmetria della palla, che ha infiniti punti fissi.

Qui vogliamo riprodurre la classica, breve dimostrazione del Teorema del Punto Fisso di Brouwer che fa uso di tecniche standard di Topologia Algebrica, in modo da illustrare la potenza degli argomenti di tipo funtoriale.

Supponiamo per assurdo che f non ammetta punti fissi. Allora possiamo definire una funzione r: Dⁿ⁺¹ ⭢ Sⁿ associando ad ogni punto x∈Dⁿ⁺¹ l'intersezione col bordo della palla della semiretta

uscente da f(x) e contenente x.

La funzione r è continua, dato che f lo è, e per costruzione fissa tutti i punti del bordo. Si tratta dunque di una retrazione di Dⁿ⁺¹ su Sⁿ, ossia di un'applicazione continua Dⁿ⁺¹ ⭢ Sⁿ tale che la composizione con l'inclusione

Sⁿ ⭢ Dⁿ⁺¹ ⭢ Sⁿ (*)

è l'identità di Sⁿ. Ma una tale retrazione non può esistere. Infatti, passando in coomologia singolare e applicando il funtore Hⁿ( , ℤ) al diagramma (*), si avrebbe che l'identità

ℤ ≃ Hⁿ(Sⁿ, ℤ) ⭢ Hⁿ(Sⁿ, ℤ) ≃ ℤ

dovrebbe fattorizzare attraverso il gruppo Hⁿ(Dⁿ⁺¹, ℤ). Siccome la palla è contraibile, tale gruppo è banale e quindi l'identità fattorizzerebbe attraverso un'applicazione costante, contraddizione.