integrale definito tra [-2, 1] di 1/ x^2 in dx
∫₋₂¹ x ⁻² = [ -x⁻¹ ]₋₂⁰⁻ + [ -x⁻¹ ]₀₊¹ = ( limₓ→₀₋ -x⁻¹ ) - ½ - 1 - ( limₓ→₀₊ -x⁻¹ ) = ∞ - ½ - 1 + ∞ = ∞
∫₋₂¹(1/x²)dx=
lim ᵣ→₀₊
(-1/x)|₋₂⁻ʳ+(-1/x)|ᵣ¹=
=lim ᵣ→₀₊ [-1/(-r)-(-1/(-2))+(-1/1-(-1/r))]=
lim ᵣ→₀₊1/r-1/2-1+1/r=
lim ᵣ→₀₊ 2/r-1/2=+∞
Divergente
Nell’ambito della teoria alla Lebesgue ha perfettamente senso. Essendo la funzione continua, quindi misurabile, e positiva, è integrabile. Non è sommabile perché non ha integrale finito, sappiamo infatti che
1/|x|^α è sommabile su un intorno limitato di 0 solo per α<1. Secondo Riemann è un integrale improprio divergente, cosa che fa della f una funzione non integrabile. La funzione 1/x^3 non è integrabile neanche secondo Lebesgue perché sia la parte positiva max{f,0}, sia la parte negativa -min{f,0}, hanno integrale non finito.
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