La derivata associa ad ogni punto di una funzione un valore che è pari al limite del rapporto incrementale della funzione in tal punto con incremento tendente a zero. In parole povere, ad ogni valore della funzione, associa un solo valore, pari al coefficiente angolare della retta tangente in quel punto. Pertanto è essa stessa una funzione. Non è detto però che tale funzione esista sempre, ovvero che la funzione sia derivabile.

la derivata può essere costante (la funzione è una retta) ed anche sempre zero (tale retta è orizzontale). Nel caso tale retta sia verticale (funzione x=k), non si tratterebbe di una "funzione", nel piano cartesiano x-y

Finché restiamo nell’ambito dell’analisi reale, è una definizione: funzione derivata di una funzione f derivabile in un opportuno sottoinsieme del suo dominio, è la funzione che ad ogni elemento del detto sottoinsieme di derivabilità, associa la derivata calcolata nel punto medesimo ( come limite del rapporto incrementale). Poi è vero, come ci sono funzioni definite ovunque e mai continue, ci sono funzioni che possono essere continue ovunque, ma mai derivabili; o funzioni mia continue/ mai derivabili ma continue/derivabili ovunque in valore assoluto

la derivata si definisce puntualmente, come limite del rapporto incrementale, se esiste finito ( e il fatto che esista, significa che è unico, laddove è definibile). Successivamente si definisce una funzione nuova, che non è la derivata, ma la funzione derivata, quella definita su un opportuno sottoinsieme del dominio della funzione f, ossia sull’insieme di derivabilita’ o più in generale un suo sottoinsieme, mediante l’assegnazione x—> g(x)= f’(x), ossia la derivata prima nel punto di f(x). Questa è la funzione derivata ed è ovviamente ben definita nelle condizioni sovradette. La derivata in sé è un limite, se esiste finito, associato a una quantità che chiamiamo rapporto incrementale, e non avrebbe senso parlare di funzione, che tecnicamente è una terna ordinata di insiemi, regolati dai noti vincoli di definizione ( una relazione binaria, che ammette di norma per dominio l’insieme di partenza della relazione, e con la proprietà di monodromia). Però proprio per questo motivo, non è corretto pensare la derivata come funzione, è un abuso di linguaggio, si dovrebbe dire correttamente “ funzione derivata”, questo era il senso del mio intervento originario. L’unico senso ragionevole da dare a “ derivata/ funzione” è quella di definire, come si fa di norma, la funzione derivata. In fondo, la matematica, pur essendo un codice semiotico simbolico, come il linguaggio, ne è un suo estremo potenziamento, attraverso un raffinamento semantico e formale, rispetto ai limiti del linguaggio naturale.

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale in quel punto, il quale se è esiste è unico in virtù del teorema di unicità del limite, pertanto la derivata f' di una funzione f, nei punti in cui tale limite esiste, è definita ed è effettivamente una funzione.