La strada verso l'ultimo teorema di Fermat: curve ellittiche e forme modulari.
l'equazione di Fermat è all'apparenza abbastanza innocente: aⁿ + bⁿ = cⁿ. La dimostrazione che questa equazione non ammette soluzioni intere (per n > 2), però, fa ricorso ad oggetti matematici di gran lunga più sofisticati e a prima vista del tutto scollegati dal problema di partenza. Devo pertanto introdurre i due attori principali di questa dimostrazione, che sono purtroppo non immediati da digerire senza qualche conoscenza pregressa.
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1) Il primo personaggio di questa storia è rappresentato dalle curve ellittiche. Si tratta di curve nel piano cartesiano rappresentata da un'equazione di questo tipo:
y² + axy +by = x³ + cx² + dx + e.
I coefficienti a, b, c, d, e sono numeri che determinano la forma della curva. Chi ha studiato geometria analitica alle superiori, avrà visto diverse equazioni di questo tipo per descrivere analiticamente per esempio rette, circonferenze, parabole, eccetera. Questa formula è simile nello spirito, anche se un po' più complicata. Nella figura vengono mostrati due esempi di curve ellittiche, che hanno in generale due forme: a due componenti (una specie di castagna e una specie di iperbole) oppure con una componente sola (un appendiabiti? non saprei come descriverla!).
Sono di particolare interesse per la teoria dei numeri le soluzioni intere di queste equazioni, cioè le coppie (x,y) entrambi intere che appartengono alla curva ellittica.
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2) Il secondo oggetto matematico che dobbiamo imparare a conoscere sono le cosiddette forme modulari. Qui le cose si fanno... complesse. Una forma modulare è infatti una funzione che vive nel piano complesso (i numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali). Ci sono diverse proprietà che caratterizzano le forme modulari, e le riporto nel box sotto se a qualcuno piacciono le formule, ma sono condizioni abbastanza tecniche! La seconda in particolare è una proprietà di simmetria. Al di là del loro significato preciso, i vincoli posti da queste proprietà selezionano una classe di funzioni molto speciali e non facili di visualizzare, in primis perché vivono nel mondo dei numeri complessi. Inoltre, a parte casi banali (come la funzione nulla), gli esempi più semplici non sono esattamente elementari. Sempre nella figura sotto viene riportato un esempio di forma modulare, detta serie di Eisentein.
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Ora che almeno abbiamo dato un nome ai nostri oggetti... ci si potrebbe chiedere: cosa hanno a che fare l'uno con l'altro e, soprattutto, cosa hanno a che fare col teorema di Fermat? C'è purtroppo ancora un po' di strada da fare.
Negli anni '50, piuttosto inaspettatamente, diversi matematici indipendentemente ipotizzarono un legame tra curve ellittiche e forme modulari. In pratica, supposero che per ogni curva ellittica esiste una corrispondente forma modulare. Questa ipotesi prese il nome di congettura di Taniyama–Shimura-Weil, dal nome dei tre matematici che la formularono. Nei successivi decenni, rimase opinione condivisa che questa congettura fosse "inaccessibile" in termini di dimostrazione, al di là delle conoscenze e delle tecniche note.
La dimostrazione di questa congettura, come vedremo, sarà la chiave per risolvere l'ultimo teorema di Fermat.
Ma qual è più in dettaglio la relazione tra curve ellittiche e forme modulari? Ne do solo un cenno perché sarebbe necessario coinvolgeri parecchi altri concetti. Allora: partiamo da una curva ellittica. Come accennavo, sono interessanti le sue soluzioni intere, e si può contare quante ce ne sono. Ebbene, si può costruire una sequenza di numeri basata sul numero di soluzioni intere; questa sequenza permette a sua volta di costruire una particolare serie di Fourier sul campo complesso, che risulta effettivamente essere una speciale forma modulare. Ecco stabilito il ponte.
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