limite --> +infinito di x sin (ln(x+1) / (x+2)) come si risolve?
Ci sono però alcuni passaggi "pericolosi". Dipende un po' da quanta esperienza hai.
1) Non si può in generale usare l'asintotico in una somma.
2) Non è neppure vero (in generale) che f è una funzione asintotica a g allora sin(f) ~ sin(g).
Suggerisco un procedimento alternativo. Praticamente sono le stesse idee che hai già usato tu, ma rigirate in modo da basarsi solo sui limiti notevoli.
1- vedo che la permessa che hai fatto all'inizio va praticamente a sostituire un cambio di variabile. cambio di variabile che in questo caso sarebbe stato scomodo da effettuare data la presenza di x che moltiplica tutto. Dunque mi chiedo: in generale è sempre possibile usare questo metodo di ricondursi ad un limite notevole tenendo a mente che la g(x) interna al limite cui ci stiamo riferendo tenda a 0 per x che tende ad un certo valore? Spero di essermi spiegato
2- nell'ultimissimo passaggio è giusto pensare a 2 come o(x) e quindi toglierlo visto che siamo in presenza di una somma? e quindi fare
lim x->+∞ -x/x = -1
2 è un o(x). Oppure avrei potuto fare un passaggio exxtra e scrivere -x/(x+2) = -1/(1+2/x) che non è una forma indeterminata e fa 1.
Per la domanda 1. Anche qui, in effetti ho fatto una sostituzione implicita: y = ln[(x+1)/(x+2)], anche se non l'ho scritto. Così, per x → +∞, y → 0 e puoi usare il limite notevole sin(y)/y per y → 0. Più sotto, ho fatto un'alta sostituzione implicita, -1/(x+2) = z, anche in questo caso z → 0 per x → +∞.
Tutti i limiti notevoli si possono usare con una generica funzione infinitesima 𝜀(x). Se lim 𝜀(x) = 0 per x → x₀ (o anche x → ±∞), allora, per x → x₀:
lim sin[𝜀(x)] / 𝜀(x) = 1;
lim ln[1+𝜀(x)] / [𝜀(x)]² = 1/2;
lim [e^𝜀(x)-1] / 𝜀(x) = 1;
eccetera.
About Post Author
