Parlando di fasci di rette nel piano e parabole: cosa è il parametro (k) concretamente?

Parlando di fasci di rette nel piano e parabole: cosa è il parametro (k) concretamente?

È quel valore che, tipicamente, va trovato affinché vengano soddisfatte le condizioni indicate nell’esercizio

Una retta, essendo definita da un polinomio di primo grado in x e y, ha bisogno in generale di tre parametri (valori numerici indipendenti l'uno dall'altro). Dobbiamo infatti scrivere una relazione del tipo ax+by+c=0 che al variare di a, b e c descrive tutte le possibili rette del piano Oxy. Se conosco a, b e c conosco l'equazione della retta. Se conosco soltanto uno o due dei tre parametri, a seconda dei casi posso avere un fascio proprio di rette (nel caso tutte le rette passino per un unico punto P(x_P, y_P). In questo caso l'equazione del fascio si può ridurre ad un unico parametro e l'equazione del fascio diventa y - y_P = k(x - x_P). Il parametro k in questo caso rappresenta il coefficiente angolare della retta (e per questo solitamente si indica piuttosto con m, potendo scegliere). Nel caso in cui il rapporto a/b o b/a risulti invece costante, abbiamo il caso di un fascio improprio (rette parallele) che si può ridurre a un'equazione dove k tiene il posto del termine noto. In questo caso si parla di fascio improprio. L'ultimo caso è quello in cui il parametro influenza tutti e tre i coefficienti. Si parla in tal caso di una famiglia di rette piuttosto che di un fascio, e in alcuni casi è possibile e interessante ricercare allora la cosiddetta "curva di inviluppo". Per analogia si può estendere il discorso alle parabole, tenendo presente che in tal caso il polinomio che definisce l'equazione nel piano risulta di secondo grado e quindi il numero di parametri e di possibili tipologie aumenta di conseguenza

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pasquale.clarizio

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