per numerare tutte le pagine di un grosso quaderno, partendo dalla 1, si utilizza un numero di cifre pari al doppio del numero di pagine del quaderno

per numerare tutte le pagine di un grosso quaderno, partendo dalla 1, si utilizza un numero di cifre pari al doppio del numero di pagine del quaderno

da quante pagine è composto il quaderno?

Un modo semplice di risolverlo è considerare che se tutti i numeri fossero di due cifre sarebbe sempre vero che che il numero di cifre è doppio rispetto al numero di pagine. Osservando però che nella realtà i primi 9 hanno una sola cifra se ne deduce che all’ultimo numero di due cifre (il 99) bisogna aggiungere questi 9 per ritrovarsi nella stessa situazione: 99+9 = 108

"se tutti i numeri fossero di due cifre sarebbe sempre vero che che il numero di cifre è doppio rispetto al numero di pagine"?

immagina di essere in un albergo dove le stanze hanno i numeri da 10 a 99. È chiaro che se consideri N stanze, hai sempre 2N cifre, indipendentemente da N.

scuole medie, ad esempio

Da 1 a 10 sono 11 cifre, poi ne sommi 20 ogni decina così vedi che per arrivare a pagina 99 servono 189 cifre. A quel punto ne sommi tre alla volta per pagina 100, 101…e vedi che a 108 sono proprio 189+3*9=216

impostare un’equazione…
Per logica si prova prima con 2 cifre per pagina e alla fine del procedimento non si trova perché fa 0. Quindi si procede nell’impostare 3 cifre per pagina e facendo l’equazione:
2x = -9 -180 +297 ti trovi esattamente 108 pagine.
Resta il fatto che è un quesito a tranello dato per studi avanzati non certo per uno studente di 2ª media
un altro modo intuitivo è capire che fino al 9 il rapporto cifra/pagina è uguale a 1. Da 10 a 99 invece per ogni numero corrispondono sempre due cifre quindi il rapporto è pari a 2. A questo punto allora per trovare la soluzione (ovvero rapporto totale uguale a 2) basta semplicemente aggiungere 9 numeri da 3 cifre (rapporto uguale a 3) che compensino i primi 9, quindi da 100 a 108.
ragionamento:
la bimba scrive 1, 2, 3,...10, 11, 12... eccetera e si conta il totale di cifre scritte fino all'ultima pagina.
Si imposta così:
c = numero di cifre
p = numero di pagine.
Iniziamo supponendo che il quaderno abbia meno di cento pagine, cioè 99 al massimo (e che quindi non servano numeri di tre cifre).
Vale:
c = 9 + 2(p-9), ossia il numero di cifre è di nove cifre singole sulle prime nove pagine e poi due cifre dalla decima all'ultima che sono in tutto p-9;
inoltre c = 2p.
Quindi:
2p = 9 +2(p-9);
2p = 9+2p-18;
Si ottiene l'uguaglianza 0 = -9, che è un assurdo e che quindi attesta che il quaderno abbia più di 99 pagine.
Dunque rimodelliamo il problema, supponendo che il quaderno abbia più di 99 ma non più di 999 pagine (e che quindi non servano 4 cifre per segnare il numero di pagina).
Vale:
c = 9 + 2(100-9) + 3(p-99), cioè: nove cifre sulle prime nove pagine, due cifre per ogni pagina dalla decima alla 99esima (100-9) che sono 91, tre cifre per ogni pagina dalla centesima all'ultima (p-99), quindi:
c = 189 + 3(p-99)
Inoltre vale sempre
c = 2p
2p = 189 + 3(p-99)
2p = 189 + 3p - 297
-p = -108
p = 108, quindi c = 2p = 216.
si potrebbe:
Da 1 a 9: 9 cifre. Da 10 a 99: 180 cifre. Totale 99 pagine e 189 cifre, invece 99*2=198. Da 100 in poi però aggiungo 3 cifre. Procedo per tentativi dato che la differenza si assottiglia

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pasquale.clarizio

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