Per quali valori del parametro intero m non esiste alcun intero x per cui x⁴ + x³ + x² + x + m = 0
m≠-n(n+1)(n²+1)
n∈ℤ
e poi tutti gli
m>0
basta ipotizzare
x⁴+x³+x²+x+m≠0
con n parametro
n⁴+n³+n²+n+m≠0
m≠-(n⁴+n³+n²+n)
ovvero
m≠-n(n+1)(n²+1)
per n=0 m≠0
per n=0 m≠-1
per n=1 m≠-4
per n=2 m≠-30
per n=-1 m≠0
...
nota per m>0 non vi sono soluzioni in quanto
m=-n(n+1)(n²+1) è negativo solo per
-1<n<0
potrebbe:
deve essere
{m>0}∪{m≠-n(n+1)(n²+1)}
con
n∈ℕ
infatti:
poichè
m>0 solo per -1<n<0
per m>0 non vi sono soluzioni
allora
si può ipotizzare m<0 e n>0
x⁴+x³+x²+x+m≠0
con n parametro
n⁴+n³+n²+n+m≠0
m≠-(n⁴+n³+n²+n)
ovvero
m≠-n(n+1)(n²+1)
con n>0
ulteriori soluzioni
Come si fa a stabilire se un grande numero m si può scomporre in quel modo?
Si può osservare che per n≠1
m=-n(n+1)(n²+1)
e
n(n+1)(n²+1)+1=(n⁵-1)/(n-1)
n(n+1)(n²+1)=(n⁵-1)/(n-1)-1
non è una risposta lo so.
m è sicuramente pari
se n è pari è multiplo di 2
se n è dispari è multiplo di 4 almeno.
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