perché il determinante della matrice jacobiana calcolata nel punto p del diffeomorfismo F è diverso da zero.
La matrice jacobiana J_p(F) è invertibile dato che lo è F, per la regola della catena. Quindi il suo determinante è non nullo. Ma è un concetto che non basta!
Uso • come simbolo della composizione e denoto con df(x) il differenziale nel generico punto x della generica funzione f.
Pongo G=F^(-1) e fissato x qualunque in U pongo y=F(x).
Si ha:
F•G=identità di V
e
G•F=identità di U.
Siccome F e G sono differenziabili in x e y rispettivamente, detta I l'identità di R^d, si ha per il teorema del differenziale della funzione composta
dF(x)•dG(y)=I
e
dG(y)•dF(x)=I.
Dunque dF(x):R^d-->R^d è biiettiva (e dG(y) è la sua inversa).
Segue che la matrice jacobiana di F in x è invertibile (e la sua inversa è la jacobiana di G in y) per cui il suo determinante è diverso da zero.
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