Prendendo un qualsiasi numero ed elevandolo al quadrato (tranne lo zero), questo da un risultato
Se viene fatta la somma di tutte le cifre del risultato fino ad ottenere una sola cifra, il risultato sarà sempre e solo: 1, 4, 7 oppure 9.
Faccio degli esempi random:
4x4 = 16 
(1+6 = 7)
(1+6 = 7)21x21 = 441 (4+4+1 = 9)
(4+4+1 = 9)79,45x79,45 = 6312,3025 (6+3+1+2+3+0+2+5 = 22 2+2 = 4)
(6+3+1+2+3+0+2+5 = 22 2+2 = 4)Si dimostra con l'aritmetica modulare in base 9: [1]*[1]=[1], [2]*[2]=[4], [3]*[3]=[9]=[0], [4]*[4]=[7], [5]*[5]=[7], [6]*[6]=[9]=[0], [7]*[7]=[4], [8]*[8]=[1], [9]*[9]=[9]=[0].
i residui quadratici modulo 9 sono solo 0, 1, 4, 7. Il che è vero, e può essere facilmente verificato calcolando x² (mod 9) per x ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
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