Qual è la probabilità che scegliendo a caso un primo p della forma p = 4k + 1, l'equazione X² - 2pY² = -1 non abbia soluzioni intere?
Confermo per adesso con una simulazione con due programmini in C: su 500000 interi consecutivi vi sono 41538 primi totali e 20731 primi della forma 4k+1 e per 5192 primi p di tale forma l′equazione
X²-2pY²=-1
non ha soluzione.
La stima fornisce:
P=5192/20731
P≈0.250446191...
ossia
P≈1/4=25%
Sia p un primo della forma p = 4k + 1.
Allora esistono due, e due soli interi positivi dispari a, b, per cui
2p = a² + b².
Come sanno coloro che posseggono il mio libro sulle equazioni diofantee, un corollario di un teorema che ho dimostrato afferma che l'equazione
X² - 2pY² = -1 (1) non possiede soluzioni intere se, e solo se, è verificata una delle quattro combinazioni
a = ±3 mod 8 e b = ±3 mod 8;
invece possiede soluzioni se è verificata una delle dodici combinazioni
a = ±1 mod 8 e b = ±3 mod 8;
a = ±3 mod 8 e b = ±1 mod 8;
a = ±1 mod 8 e b = ±1 mod 8.
Pertanto la probabilità che la (1) non abbia soluzioni è 4/16, ossia del 25%.
L'equazione ha soluzione se p=5mod8 o p=9mod16. Il primo caso rappresenta 1/2 di tutti i p=1mod4, mentre il secondo caso rappresenta 1/4 di tutti i p=1mod4, quindi (essendo l'intersezione nulla) i casi risolvibili sono [50+25]%, dunque quelli irrisolvibili sono il complementare, ovvero il 25%. Ma occorre dimostrare
Per la dimostrazione dei criteri di Dirichlet
Ho quindi fatto un confronto su quanti interi positivi soddisfino 5mod8 e 9mod16 rispetto al totale di quelli 1mod4, che mi permettesse di avere la percentuale di questi sul totale di quelli 1mod4
About Post Author
