quesiti matematici interessanti. per approfondire
1) Esistono infiniti primi della forma 12n + 7;
2) Esistono termini della successione
a(n) = 5n⁴ - 40n³ +130n² - 200n + 121
divisibili per 91;
3) Nello sviluppo decimale di log7 si presenta almeno una volta la sequenza 31777777713;
4) ogni numero naturale pari diverso da 2 si può esprimere, almeno in un modo, come somma di due numeri primi;
5) esistono infinite coppie di numeri primi gemelli;
6) Numero di radici dell'equazione P(x) = 0, comprese nell'intervallo (a, b), con P(x) polinomio di grado n, a coefficienti interi;
1) Vero. Per il teo di Dirichlet essendo 12, 7 coprimi
2) Falso. usando la congruenza mod 7 essendo
91=7·13 si arriva ponendo n=m+2 a una congruenza priva di soluzioni
m²(5m²+1)+2=0 mod 7 impossibile
al piu′ =1, 2, 6
3)incerta perchè non si possono conoscere le infinite cifre di un irrazionale,
si puo′ solo provare a trovare quella sequenza col calcolo.
4)incerta: congettura di Eulero-Goldbach
5) incerta, la congettura sui primi gemelli infiniti non è stata
ne provata ne' confutata.
6) é vero; ma è un problema computazionalmente complesso.
Problema computazionalmente complesso, si puó determinare usando il teorema di Sturm, la regola di Cartesio, o altri approcci analitici se non algebrici. Il problema vero riguarda la complessità computazionale degli algoritmi per automatizzare la ricerca.
1) il teorema di Dirichlet garantisce che esistono infiniti primi della forma an+b sse a e b sono coprimi, quindi VERO
4) 27 è un controesempio: per essere scritto come somma di due interi questi devono essere uno pari e l'altro dispari, ma l'unico primo pari è 2 e 27-2=25 non è primo. FALSO.
Per la ricerca delle radici del polinomio si possono usare metodi iterativi che permettono di trovare valori di ascisse sempre migliori. Allora partendo dal centro di (a, b) se il metodo iterativo da un valore convergente in (a, b) il numero di soluzioni è almeno 1, chiamiamola x1. Poi si considerano i centri di (a ,x1) e (x1, b) e si riapplica il metodo, se convergono ad altrettanti valori in quegli intervalli troviamo altre soluzioni. Visto che il numero di soluzioni massimo è il grado del polinomio, ad un certo punto gli algoritmi portano sempre alle stesse soluzioni. In definitiva è possibile stabilire il numero di soluzioni in un dato intervallo.
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