Risolvere l'equazione diofantea X^2 - Y^5 + 4 = 0
Si dimostra che non ha soluzioni intere.
puo porsi nella forma:
y⁵-x²=4
y x stessa parità.
ovvero
y⁵=x²+4
se x y pari
x=2u y=2v
(2v)⁵=(2u)²+4
32v⁵=4u²+4
8v⁵=u²+1
in tal caso u dispari
u=2w+1
8v⁵=(2w+1)²+1
8v⁵=4w²+4w+2
4w⁵=2w²+2w+1
il p.m. è pari il s.m. è dispari assurdo
allora x y dispari.
(2y₁+1)⁵-(2x₁+1)²=4
porta a
y₁ pari y₁=2y₂
che poi porta anche a
x₁ pari x₁=2x₂
che porta a
y₃=(2y₂+1) dispari
che infine porta a una contraddizione:
512y₃⁵+1920y₃⁴+2880y₃³+2160y₃²+810y₃-8x₂²-4x₂=-119
inpossibile
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