risolvere questo limite con il teorema de L'hopital?
L'Hopital è da spesso forse meno efficace, usa Taylor.
E' ovvio che ci sono dei casi in cui conviene uno e casi in cui conviene l'altro.
Generalmente comunque Taylor è più immediato e molto più semplice.
Comunque x^x tende a 1, perciò lim tende a tende a 0, oppure puoi vederlo come log(x)/(1/x), e sapendo che 1/x tende a infinito più velocemente di quanto non faccia ln(x) puoi capire che va a 0.
Applicare de l'Hopital direttamente a x*log non si può nemmeno comunque.
Come lo risolveresti questo con Taylor: lim x->0 x*log|x|
?
im x->0 log|x|*x=
lim x->0 log|x|/(1/x)=
(L'hospital quindi derivo sopra e sotto)= 1/x/(-1/x^2)=-x^2/x=-x
lim x->0 -x=0
Quindi L'hospital ci ha fornito subito il risultato corretto.
*E il fatto poi che "tende piu' velocemente", come lo giustifichi?
*Taylor si puo' applicare, se esiste lo sviluppo in serie di Taylor in quel punto, e' ...una tautologia... Nel caso specifico, log|x| non ha sviluppo di Taylor in x=0 e Taylor non si può applicare.
nella forma x*log(x).
Comunque il logaritmo è una funzione "moderata" dell'argomento, per x che si avvicina a 0 per esempio per ottenere -100 = ln(x) , x deve essere estremamente piccolo, mentre per 1/x basta avere x = 0.01, quindi nell'intervallo 0<x<=1, a x fissato per entrambi 1/x è di sicuro più grande.
(Ovviamente è una intuizione mentre con L'Hospital si dimostra al 100%)
Ripeto, ovvio che ci sono situazioni patologiche in cui uno è decisamente meglio dell'altro, ma finché si utilizzano funzioni di cui lo sviluppo si sa praticamente a memoria e per limiti alquanto semplici credo che Taylor sia più intuitivo e veloce.
E' una forma indeterminata 0/0.
Intanto se applichi una volta l'Hospital:
ottieni lim x->+0 (1-2*cos(2x)-a)/(9x^2)
Ora ci chiediamo se il numeratore e' 0... lo e' se solo se a = -1.
Altrimenti la forma non e' più indeterminata ma e' del tipo "numero diverso da 0"/0 che e fa+ o - infinito, il segno si trova facilmente (vedi tu, e' facile).
A questo punto vediamo cosa succede se a=-1. Di nuovo abbiamo una forma indeterminata e applichiamo l'Hospital di nuovo ottenendo:
lim x->+0 4sin(2x)/(18x)
di nuovo indeterminata, applichiamo l"Hospital di nuovo:
lim x->+0 8*cos(2x)/18 che non e' piu' indeterminata e si ottiene:
lim x->+0 8*cos(2x)/18 = 8/18=4/9
Quindi se a <> -1 fa infinito (+-, vedi tu, ...) , se a=-1 fa 4/9.
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