Dimostrare che il numero che precede il quadrato di un numero dispari è divisibile per 8. Possiamo scrivere la formula in questo modo: se n è dispari, allora (n^2-1) è divisibile per 8.

Soluzione
Se n è dispari, possiamo scrivere che è uguale a 2x+1.
Il quadrato è 4x^2 + 4x + 1 e il numero precedente è 4x^2 + 4x cioè 4x*(x+1).

A questo punto dobbiamo fare due ipotesi:
A. x è pari.
B. x è dispari.

Nel caso A possiamo scrivere
x = 2k
e sostituendo nell'equazione
4 * 2k * (2k + 1)
8 * k * (2k + 1) che è divisibile per 8

Nel caso B possiamo scrivere
x = 2k+1
e sostituendo nell'equazione
4 * (2k+1) * (2k+1 + 1)
4 * (2k+1) * (2k+2)
4 * (2k+1) * 2 * (k+1)
8 * (2k+1) * (k+1) che è divisibile per 8.

In entrambi i casi abbiamo dimostrato che se n è dispari, allora (n^2-1) è divisibile per 8

pensandoci, n²-1 è il prodotto di due numeri pari consecutivi ora i numeri pari divisibili per 4 si alternano ai pari divisibili solo per 2. Quindi n²-1 è il prodotto di un numero divisibile per 2 ed un altro divisibile per 4. Quindi è divisibile per 8.

(n-1)(n+1) pari consecutivi quindi uno divisibile 2 e uno divisibile anche per 4 quindi il loro prodotto n²-1 è divisibile per 8