se un numero x nell'intervallo [0,1] e continuiamo a farlo finché la somma dei numeri scelti supera 1
Quale è il valore atteso del numero di scelte da compiere perché la somma superi 1?
La domanda è "quale è il valore atteso (la media) di N (ovvero il numero di scelte che servono per superare 1) se immagino di compiere la scelta dei numeri un numero di volte tendente ad infinito?
un'idea:
Si puó fare un numero infinite di scelte senza che la somma supera 1. Se scegliamo un primo numero u₁=1/2, basta scegliere
u₂<u₁/2, e
u₃<u₂/2
altra idea, potrebbe essere:
un numero infinito di scelte in modo che N sia 2, o 3 etc.
Il punto è capire, facendo scelte casuali, quale sia il valore atteso di N
ragionando, invece:
.... p(1) ......... . 0
.... p(2) ......... 1/2
.... p(3) ......... 1/3
.... p(4) ......... 1/8
ecc...
Quindi, la somma è
e = 2,718281828459...
Probabilità che servono k estrazioni:
p(k) = 1/[k*(k-2)!]
Media = 2*p(2) + 3*p(3) + 4*p(4) + .... + n*p(n) = 1/0! + 1/1! + 1/2! + .... 1/n! = e
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