Senza utilizzare i valori goniometrici di archi notevoli, come si può ottenere l'equazione di secondo grado, a coefficienti interi, le cui radici sono cos72° e cos144°
Dette soluzioni
x₁=cos(72)
x₂=cos(144)
sono per Viete le soluzioni di
x²-sx+p=0
s=x₁+x₂
p=x₁x₂
p=cos(144)cos(72)=
cos(144)sin(90-72)=
cos(144)sin(18)cos(18)/cos(18)=
-cos(180-144)sin(36)/(2cos(18))=
-cos(36)sin(36)/(2cos(18))=
-sin(72)/(4cos(18))=
-cos(90-72)/(4cos(18))=
-(1/4)cos(18)/cos(18)=-1/4
s=cos(144)+cos(72)=
2cos((144+72)/2)cos((144-72)/2)=
2cos(108)cos(36)=
-2cos(180-108)·-cos(180-36)=2cos(72)cos(144)=
=2·(-1/4)=-1/2
per cui
x²-sx+p=0
è la equazione
x²+1/2x-1/4=0
ovvero riducendo a coefficenti interi
4x²+2x-1=0
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