si consideri la successione definita per ricorrenza. Sia per alfa=10 che per alfa =-10 la funzione non è monotona
Una strategia è spezzare la successione in indici pari e dispari. La successione con indici pari (a₀, a₂, a₄, ...) è decrescente e minorata da √2-1, mentre la successione degli indici dispari (a₁, a₃, a₅, ...) è crescente e maggiorata da √2-1. Questo implica che le due sottosuccessioni ammettono ciascuna limite, e il limite L deve soddisfare 2L + L² - 1 = 0. Una soluzione è L = √2-1 che necessariamente è il limite di entrambe le sottosuccessioni, e quindi anche della successione completa.
Non vedo altro modo che dimostrare ciascuna delle affermazioni sopra per induzione, anche se mi pare un po' laborioso.
Per prima cosa si può mostrare che a₂ⱼ > √2-1. È vero per j = 0 (caso base); per il caso generale, vogliamo mostrare che a₂ⱼ₊₂ > √2-1, supponendo valido che a₂ⱼ > √2-1. Si ha:
a₂ⱼ₊₂ = 1/(2+a₂ⱼ₊₁) = (2+a₂ⱼ)/(5+2a₂ⱼ).
Va quindi dimostrato che (2+a₂ⱼ)/(5+2a₂ⱼ) > √2-1, che risulta sempre vero sotto l'ipotesi a₂ⱼ > √2-1.
Fatto questo, si passa a verificare che {a₂ⱼ} è decrescente. Per il caso base va mostrato che a₂ < a₀. Si ha a₂ = (2+𝛼)/(5+2𝛼), ed effettivamente a₂ < a₀ perché:
(2+𝛼)/(5+2𝛼) < 𝛼 ⇔ 12/25 < 10 (vero).
Supposto ora che per ogni j si abbia a₂ⱼ > a₂ⱼ₊₂, mostriamolo per (j+1), cioè che a₂ⱼ₊₂ > a₂ⱼ₊₄. Si ha:
a₂ⱼ₊₄ = (2+a₂ⱼ₊₂)/(5+2a₂ⱼ₊₂) < a₂ⱼ₊₂
che è sempre vera sotto la condizione a₂ⱼ₊₂ > √2-1 (dimostrata precedentemente).
Analogamente va dimostrata la crescenza di {a₂ⱼ₊₁}.
inoltre:
la funzione generatrice è f(x)=1/(2+x) (dominio=R\{-2} ), e la sua monotonia non ha nulla a che vedere con la scelta del parametro alpha.
La funzione G(x)=f(f(x)) [dominio=R\{-2, -5/2}] è continua e strettamente crescente nelle componenti del suo dominio, e ha due 2 punti fissi, u e v, con u<-2<0<v<1 potrebbe u=-1-sqrt(2), v=-1+sqrt(2)).
Osservo che per ogni x>0 esiste X>=x e di v tale che G mandi [0,X] in [0,X], basta appunto prendere X=max{x,v}, quindi ogni successione definita per ricorrenza a partire da G e con parametro iniziale positivo o che per un certo indice sia positiva converge a v= -1+sqrt(2).
(a) Le successioni a_2k ed a_(1+2k) sono entrambe generate da G ed hanno parametro iniziale positivo (10 per a_2k e a_1=1/12 per a_(1+2k) ), quindi convergono entrambe a v, così fa a_n.
(b) Calcolo i primi termini di a_n e ottengo: -10, -1/8, 8/15. Anche in questo caso c'è convergenza verso v
La funzione generatrice f(x)=1/(2+x) e' una contrazione su R+: |f(x)-f(y)|<=1/2 |x-y|, per x,y >0. Iterando questa disuguaglianza si ha che le successioni a_n sono di Cauchy una volta mostrato che sono definitivamente positive (cosa semplice). E quindi ammettono limite finito L. Quindi L deve essere il punto fisso positivo di f L=1/(2+L) che e' appunto quanto gia' trovato da altri radq(2)-1
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