Detti r₁, r₂ ed r₃ i raggi delle tre circonferenze inscritte mostrate in figura, si dimostri che

r₂ = √(r₁×r₃).

Supponiamo inizialmente che il triangolo ABC sia anche isoscele, da cui discende per costruzione che r1=r2=r3 e quindi la tesi. Ora un qualsiasi triangolo rettangolo si può ottenere in questo modo: fissiamo A= origine degli assi con AB sull'asse x e AC sull'asse y. Ora dilatiamo l'asse y tramite una trasformazione lineare y'=a*y fino a portare il vecchio triangolo rettangolo isoscele sul nuovo rettangolo che vogliamo. Chiaramente dato che i 3 vettori r1,r2 ed r3 sono paralleli all'asse y rimangono tali e inoltre la loro lunghezza viene moltiplicata per il fattore a. Si conclude ora osservando che se prima (r2)^2=r1*r3 era soddisfatta lo sarà anche per r2'=a*r2 e similmente per r1 ed r3.

nel caso di triangolo isoscele hai r₁ = r₂ = r₃, e che riscalando l'asse y di un fattore a i tre raggi si riscalano dello stesso fattore a. Ma non è vero che r'₁ = r'₂ = r'₃. Questo perché il segmento PQ deve ruotare per mantenere l'angolo AQB retto.

l problema è che le dilatazioni non mandano incentri in incentri e quindi non posso concludere. Probabilmente con una trasformazione affine centrata nell'incontro di ABC si riesce a dire qualcosa, ma a quel punto conviene la soluzione classica pistolando con le similitudini!

l'idea è: basta provare infatti che oltre a valere per il triangolo rettangolo isoscele valga anche per quello di 30 60 90. Infatti una volta che vale per quello, vale anche per il simmetrico e quindi vale per 3 triangoli distinti. Ora si conclude osservando che ho creato una famiglia lineare (una retta nelle coordinate di trasformazione) di triangoli che intersecano la quadrica (r2)^2-r1*r3=0 in tre punti distinti. Questo mi permette di concludere che la retta è tutta contenuta nella quadrica e che quindi la proprietà vale per tutti i triangoli rettangoli

dimostrare che la proprietà valga per ogni triangolo rettangolo. Per prima cosa quindi consideri un triangolo rettangolo isoscele e riscali tutto affinché la coordinata x del tuo triangolo rettangolo isoscele coincida con quella del triangolo generico in figura. Ora chiaramente la proprietà vale per questo triangolo rettangolo isoscele. Considerando ora la retta nelle coordinate di B e C data da yC'=a*yC con a reale stiamo applicando un'omotetia sul triangolo rettangolo isoscele in modo da far coincidere pure il punto C' così traslato con il vertice giacente sull'asse y del triangolo considerato. Ora poiché le coordinate dell'incentro sono funzioni lineari delle coordinate dei vertici di un triangolo ho che tutte le coordinate di r1,r2 ed r3 sono funzioni lineari (in realtà sono quozienti di espressioni algebriche in cui il numeratore ha 1 grado in più del denominatore, ma a fronte di quello che voglio dire non credo faccia differenza) delle coordinate di B e di C e di conseguenza la relazione che voglio dimostrare è una quadrica in queste coordinate. Se la retta "di triangoli" parametrizzata da a che ho costruito interseca la quadrica in almeno 3 punti distinti (per quello che dico occorre verificare la tesi per il triangolo 30 60 90) allora per Bezout (o semplicemente per questioni di grado) ho che tutta la retta è contenuta nella quadrica. La cosa importante in questo argomento è osservare che un punto di intersezione tra la quadrica e la retta corrisponde a delle coordinate B e C di un triangolo rettangolo come in figura che verifica la relazione tra r1,r2 ed r3.