Sia alpha un reale strettamente compreso fra 0 e 1. Sia R l'intersezione di tutti i pentagoni di vertici (0,alpha) , (1-alpha,0) , (1,0) , (1,1) ,(0,1) , al variare di alpha nell'intervallo (0,1)
Determinare l'area di R
5/6. La parte curva del bordo della figura finale è grafico di f(t)=1+t-2*sqrt(t).
L'idea è che ogni pentagono ha come lato obliquo un certo segmento, e su un tale segmento ci sta solo un punto (del bordo) della figura finale, questo punto si può trovare e mettendo assieme tutti questi punti si ottiene il lato curvilineo della figura finale.
Noto che se un punto P è comune a due segmenti obliqui allora P è esterno alla figura finale (tengo fisso un segmento e muovo di poco l'altro, graficamente dovrebbe essere chiaro). Fissati a e b diversi e compresi tra 0 e 1 i segmenti da loro individuati si intersecano nel punto P=(ab,1-a-b+ab). Tenendo fermo a e facendo tendere b ad a si ottiene il punto Q=(a^2, 1-2a+a^2), e questo è per forza di bordo per la figura finale. Riparametrizzando con t=a^2 si ottiene che la funzione f(t)=1+t-2*sqrt(t), con t compreso tra 0 e 1 ha come grafico il lato curvilineo che ci interessa, poi integrando e complementando ad 1 si ottiene 5/6
Gli ultimi tre punti sono i vertici di un quadrato.
Poi, per ogni alpha, c’è un segmento che congiunge i primi due punti.
Voglio l’area dell’intersezione dei pentagoni, quindi devo escludere l’area sotto l’inviluppo dei segmenti.
Trovo l’inviluppo:
y = 1 + x - 2 sqrt(x)
per x tra 0 e 1.
L’area sotto l’inviluppo e’ 1/6.
1 è l’area del quadrato,
1 - 1/6 = 5/6
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