Consideriamo le funzioni y = f(x); y = g(x). Le soluzioni reali dell’equazione sono le ascisse dei punti di intersezione dei due grafici delle funzioni, che indichiamo con A e B. Sia data un’altra equazione: g(x) = h(x) equivalente alla prima; vuol dire che i grafici delle funzioni: y = g(x) e y = h(x) si intersecano sempre in A e B e solo in essi, perché le equazioni sono equivalenti.

Consideriamo adesso l’equazione f(x) = h(x). E’ certo, per quanto detto sopra, che i grafici di y = g(x) ed y = h(x) si intersecano nei punti A e B. Ma potrebbero esserci altri punti di intersezione, e quindi soluzioni aggiuntive?

Dimostreremo che ciò può accadere, e quindi l’ultima equazione può non essere equivalente alle precedenti. Inoltre vedremo perché può accadere.

La dimostrazione che possono aggiungersi delle soluzioni la vedremo con un esempio, che è simile a quello proposto da Valerio Brunori.

Sia data l’equazione: x^2 -2x - 3 =0; attraverso l’applicazione dei principi di equivalenza delle equazioni ( moltiplicazione e divisione; addizione e sottrazione o del trasporto) possiamo trasformare l’equazione in un’altra equivalente. L’equazione di secondo grado ha due soluzioni x1 = 3; x2 = -1. Ecco le trasformazioni:

x^2 = 2x +3 ( dividendo per x diverso da zero) x = 2 +3/x ( moltiplicando per 2) 2x = 4 +6/x 2x = 7-3 +6/x

(si porta -3 al primo membro) 2x + 3 = 7 + 6/x che è equivalente alla prima. Lo vedremo anche con i grafici.

Adesso poniamo f(x) = x^2; g(x) = 2x+3; h(x) = 7 + 6/x.

Le due equazioni x^2 = 2x +3 ed 2x + 3 = 7 + 6/x sono equivalenti ( siamo passati dall’una all’altra applicando i principi di equivalenza) Ma l’equazione f(x) = h(x) cioè x^2 = 7 + 6/x non lo è. Il motivo è che l’ultima eguaglianza posta non è di equivalenza (non abbiamo moltiplicato o diviso i due membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero, né trasportato un termine da un membro all’altro della stessa equazione)