Siano x, y e z tre variabili aleatorie indipendenti che possono assumere con uguale probabilità i valori dell’insieme {1, 2, 3, …, N}. Qual è la probabilità che esista un triangolo con lati di lunghezza x, y e z?
La lunghezza di ciascun lato deve essere inferiore alla somma degli altri due.
(n^2+1)/(2×n^2)
Se indichiamo con S(n) il numero di terne da scartare, allora S(n)=S(n-1)+(le terne contenenti il numero n). Le terne da scartare contenenti il numero n avranno altri due numeri la cui somma è <= ad n: queste sono 3×C(n, n-2). Quindi S(n)=S(n-1)+3×C(n, n-2), con S(1)=0
Nel caso in questione S(n)=(n³+n)/2.
Se calcolo S(n)-S(n-1) ottengo (3n²-3n+2)/2, mentre 3×C(n,n-2) fa (3n²-3n)/2
Estratti 2 lati, Possiamo usare il teorema del coseno per ottenere i possibili lati terzi che rientrano tra 1 e N, ed abbiamo così la probabilità del terzo lato dati 2 essi. Poi si usa il teorema di Bayes per ottenere tutti i casi possibili.
devi risolvere l'equazione di Carnot con i valori discreti infatti. Tutte le equazioni che ammettono la soluzione forniscono un lato che completa il triangolo. Equazioni con soluzione/N è il numero di lati estraibili dati gli altri 2.
P(n)=(n(n²+1)/2)/n³
P(n)=(n²+1)/(2n²)
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