Stabilire se il polinomio x^2016 - 1 è divisibile per il polinomio x^8 + x^5 + x^3 + 1
Se fossero divisibili, gli zeri del secondo polinomio dovrebbero essere anche zeri del primo. Ma il secondo polinomio è (x^3+1)(x^5+1) e ha come zero ad esempio e^(πi/5) che non è zero del primo polinomio.
ricordo che
x^m + 1 è divisore di
x^n -1 se e solo se ogni radice di
x^m + 1 è anche radice di x^n - 1,
ossia se e solo se n = 2km con k intero positivo.
x^8 + x^5 + x^3 +1 =
(x^5 +1)(x^3 +1) non è divisore di x^2016 - 1 perché 2016 è multiplo di
2x3, ma non di 2x5.
x^7 + x^4 + x^3 +1 è divisore di x^2016 - 1 perché 2016 è multiplo sia di 2x3, sia di 2x4.
In questo caso, come conseguenza, si ha che
n^7 + n^4 + n^3 +1 è divisore di n^2016 - 1 qualunque sia il numero naturale n.
Per esempio, per n = 6, 6^2016 - 1 è multiplo di
6^7 + 6^4 + 6^3 +1 =
(6^4 +1)(6^3 +1) = 281449.
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