Dire qual' è e la distanza massima sul piano orizzontale che può avere il centro del disco più alto dal centro del disco più basso senza che la pila crolli.
Serie armonica… la pila può essere fatta sporgere quanto si vuole avendo a disposizione un numero arbitrario di dischi. Però il numero cresce esponenzialmente rispetto all'ampiezza della sporgenza.
la sporgenza va come la serie armonica, quindi circa logaritmicamente, rispetto al numero di dischi. Quindi li numero di dischi va esponenzialmente rispetto alla sporgenza.
Nell'ipotesi che ciascuno dei dischi debba essere traslato della stessa quantita' x rispetto a quello sottostante, in pratica si deve fare in modo che la verticale per il baricentro del sistema dei 7 dischi cada entro la circonferenza di base del disco piu' basso. Per cui, se non ho fatto male i conti (cosa probabile perche' sono in auto in attesa di prendere mia figlia da scuola) dovrebbe essere x<=40/6. Quindi distanza massima cercata=40cm
Partendo dal più alto: il più alto può sporgere di 1/2d (d= diametro) rispetto al penultimo, il penultimo può sporgere di 1/4d rispetto al terzultimo, il terzultimo di 1/6d rispetto al quartultimo, ecc.... Quindi l'ultimo può sporgere di : (1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12)d
1 + 1/2 + 1/3 … 1/6 = 2.45 r
= 49 cm
Per ogni moneta M della pila, il baricentro della pila sovrastante deve stare su una retta verticale che cade all'interno di di M. Questo permette di ottenere una condizione ricorsiva, visto che il baricentro della pila delle ultime n monete (contando dal basso in alto) è uguale al baricentro del sistema formato dall'n-ultima moneta e dalla pila che contiene le ultime n-1 monete
Va premesso, comunque, che occorre fare delle ipotesi, altrimenti non è possibile trovare un'unica soluzione. Nella stessa ipotesi da me fatta stamattina, ossia che ciascuno dei 7 dischi debba essere traslato rispetto a quello sottostante di una stessa quantità x (con origine delle ascisse nello spigolo sinistro del primo disco in basso), stamattina avevo implicitamente considerato che i 7 dischi formassero un unico corpo rigido. Così sarebbe solo se i dischi fossero dei magneti... Ove , invece, come credo, ciascuno dei dischi è semplicemente appoggiato a quello sottostante, allora verifico l'equilibrio al ribaltamento partendo dall'ultimo disco superiore , rispetto a quello sottostante, cioè il sesto, ipotizzando che tutto il resto che sta sotto al sesto disco sia corpo rigido. Perchè il settimo disco non ribalti deve essere x <= D/2. Poi passo a considerare il disco 7 e il 6, sempre tra loro semplicemente appoggiati. Se è verificata la prima condizione, cioè x<=D/2, sicuramente il disco 7 mom ribalta, cioè resta ppoggiato al 6, quindi posso considerare il sistema composto dai dischi 6 e 7 come unico corpo rigido, di cui mi calcolo l'ascissa del baricentro. Perchè il sistema disco6 + disco 7 non ribalti, si trova che x deve essere <=D/3. Procedo in questo modo scendendo sempre più giù e considerando automaticamente verificate le precedenti condizioni (se x<=D/3 sicuramente è verificata la condizione precedente x<=D/2...) Arrivando all'ultimo disco in basso, trovo che , affinchè il sistema costituito dai dischi 1+2+3+4+5+6+7 non ribalti deve essere x<=D/8. Cioè , nel caso dell'esercizio, x<=5cm. Per cui la distanza cercata è d=30cm. Ho verificato la situazione da me ipotizzata con Algodoo (simpatico software per simulare problemi di fisica nel piano (l'esercizio può agevolmente ricondursi ad un problema piano se le traslazioni dei 7 dischi avvengono orizzontalmente in un piano verticale). Allego breve video dell'equilibrio sotto l'azione della forza di gravità. Ovviamente si può verificare anche più semplicemente con 7 monete da 2 euro avendo cura di prendere bene le misure e dare il valore reale a D
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