Trovare tutti gli n in N tali che la funzione f(x)=sen(nx) è pari
f(x) = sin(nx)
per n = 0: f(x) = sin(0) = 0 è banalmente sia pari che dispari
per n != 0: non è pari, infatti se consideriamo per esempio x = pi/4n f(x) = sin(n*(pi/4n)) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2 , mentre f(-x) = sin(n*(-pi/4n)) = sin(-pi/4) = -sqrt(2)/2
Quindi non è pari per n != 0.
Per dimostrare che è dispari uso prostaferesi: f(x) + f(-x) = sin(nx) + sin(-nx) = 2sin(0)cos(nx) = 0 => f(x) + f(-x) = 0 => f(-x) = -f(x) quindi f è dispari.
Credo che ponendo nx=t per qualsiasi n naturale non nullo, ci si riconduca alla funzione sen(t) che è dispari. Per n=0 si ottiene la funzione identicamente nulla che è pari. Inoltre credo che si possa dimostrare per induzione su n, con n maggiore o uguale a 1, che sen(nx) è dispari, utilizzando la formula di addizione del seno: sen[(n+1)x]=sen(nx)cos(x)+sen(x)cos(nx); ciascun addendo al secondo membro è prodotto di una funzione pari e di una dispari ed è quindi dispari; la somma di due funzioni dispari è dispari
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