Un’urna contiene 2 palline bianche e 2 palline rosse.
Un’urna contiene 2 palline bianche e 2 palline rosse.
Le palline vengono estratte successivamente una ad una dall’urna rimpiazzando nell’urna se si estrae una rossa e NON rimpiazzando le bianche.
Ponendo:
T = “numero dell’estrazione in cui viene pescata l’ultima pallina bianca”
Determinare il valore atteso di T.
La probabilità che il numero di estrazioni sia 2 è 1/6; e che sia n > 2 è:
(1/2)*[(2/3)^(n-2)]*(1/3) + [(1/2)^2]*(2/3)^(n-3)]*(1/3) +[1/2)^3]*(2/3)^(n-4)]*(1/3) + ...+ [(1/2)^(n-2)*(2/3)*(1/3)+ [(1/2)^(n-1)]*(1/3)= [4^(n-1) – 3^(n-1)]/[6^(n-1)] =
= (2/3)^(n-1) – (1/2)^(n-1) . Occorre fare la differenza dei limiti delle due serie, Se h = 2/3 e k = 1/2, T = <somma per n da 2 a +∞ di n*h^(n–1)> – <somma per n da 2 a +∞ di n*k^(n–1)> =
= 1/(1 -2/3)^2 – (1 – 1/2)^2 = 3^2 – 2^2 = 9 – 4 = 5.
Per n>=2 si ha:
P(n) = (1/3) * Sum_{k=1}^{n-1} (1/2)^k * (2/3)^[n-k-1].
E segue Exp{n} = 5.
Tuttavia esperimenti empirici con un simulatore danno valori più bassi.
È pur vero che la deviazione standard è sqrt{8}
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