|||x|+1|-3||=2

C.E. essendo il secondo membro costantemente >0, ed essendo il valore assoluto una quantità ≥0 ∀x l'equazione è definita in tutto ℝ

Secondo la definizione del modulo la seguente equazione è verificata ⇔l'argomento è uguale al secondo membro stesso (essendo una costante) o il suo opposto, dato che per definizione assocerà il valore stesso cambiato di segno verificando l'uguaglianza

||x|+1|-3=±2

Suddividendo in casi

(I) ||x+1|-3=2 ⇒||x|+1|=5 ⇔|x|+1=±5 analogo ragionamento

|x|+1=-5 ⇒|x|=-6 {∄x∈ℝ: |x|=-6} essendo ≥0 per definizione

|x|+1=5 ⇔|x|=4 ⇔x=±4 {le prime due soluzioni}

(II) ||x|+1|-3=-2 ⇒||x|+1|=1⇔|x|+1=±1

valutando i casi

|x|+1=-1 ⇒|x|=-2 {∄x∈ℝ: |x|=-2}

|x|+1=1 ⇒|x|=0 ⇔x=0 {terza soluzione}

Da cui facendo l'unione delle relative soluzioni, l'insieme delle soluzioni della seguente equazione è S={x∈ℝ: x₁=-4 V x₂=0 V x₃=4}

Per il "tali che" ho usato la notazione ":" in tal caso per non confondere con i moduli dell'equazione