Come si chiama e come è formata la derivata seconda di una funziona vettoriale da R^n a R^n con n>1

Risposta storica/dettagliata:

Quando si deriva (rispetto ad una variabile) in realtà si associa ad una funzione un’altra e questa nuova ci fornisce informazioni sulla precedente.

Quindi l’operazione di derivare rispetto a tutte le componenti e tutte le variabili sembra diversa dalla classica derivazione perché non associa più ad una funzione un altra funzione; come mai si fa questo artificio? (Credo sia questa la domanda a cui dover rispondere).

Un motivo (che potrebbe essere il motivo dell’artificio) è che nello sviluppo di Taylor compare la somma delle derivazioni di ogni componente rispetto ad ogni variabile moltiplicata rispettivamente per un incremento. Allora aumentando gli ordini nello sviluppo di Taylor il numero di simboli di sommatoria cresce velocemente, per semplificare la notazione e distinguere anche gli oggetti matematici come il “vettore dell’incremento” dalla derivata sono state introdotte delle notazioni più compatte: le matrici (seconda metà 1800).

In questo modo i vettori incremento (passatemi il termine) si potevano scrivere in modo distinto dalle derivate della funzione che al primo ordine erano rappresentate dallo jacobiano.

Al secondo ordine compaiono n sommatorie distinte di n termini moltiplicate per n vettori incremento, usando lo stesso procedimento si può scrivere il tutto usando n matrici applicate ad n vettori.

Quindi la parte dell’incremento è puramente vettoriale e la parte delle matrici (o tensori più in generale) è un’applicazione lineare che associa al vettore incremento un vettore che sempre più approssima il valore della funzione vettoriale.