da dove vengono dx e dy ?

In questo modo, si può esprimere la differenziabilità di una funzione f : R^2 —> R in un punto (x_0,y_0) di R^2 con l’esistenza di un’applicazione lineare (chiamata df(x_0,y_0)) che approssima la differenza f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0) a meno di un o-piccolo della norma del vettore (h,k). In altri termini, ci chiediamo: se parto dal punto (x_0,y_0) e mi discosto di un vettore (h,k) e calcolo la differenza dei valori di f nei punti, posso approssimare questa differenza con un’applicazione lineare (che chiamiamo df(x_0,y_0)) nel vettore (h,k)? se la risposta è affermativa, significa che la funzione è differenziabile.

A questo punto, usando dx e dy, possiamo riscrivere df(x_0,y_0) come loro combinazione lineare. Se si fanno i conti, si scopre che i coefficienti di questa combinazione lineare, sono proprio dati dalle componenti del gradiente di f in (x_0,y_0).